Как доказать, что ограниченная версия 3SAT, в которой никакие литералы не могут встречаться более одного раза, разрешима за полиномиальное время?

Я пытаюсь разработать задание (взятое из книги « Алгоритмы» С. Дасгупты, К. Х. Пападимитриу и У. В. Вазирани , глава 8, проблема 8.6а), и я перефразирую то, что в нем говорится:

Учитывая, что 3SAT остается NP-завершенным, даже если он ограничен формулами, в которых каждый литерал появляется не более двух раз, покажите, что если каждый литерал появляется не более одного раза, то проблема разрешима за полиномиальное время.

Я попытался решить эту проблему, разделив предложения на несколько групп:

1. Пункты, которые не имеют никакой общей переменной с остальными пунктами
2. Пункты, которые имели только одну общую переменную
3. Пункты, которые имели 2 общие переменные
4. Пункты, которые имели все 3 переменные вместе

Мои рассуждения были предприняты в том же духе, что число таких групп конечно (из-за наложенного ограничения на отсутствие литерала более одного раза), и мы могли бы сначала попытаться удовлетворить наиболее ограниченную группу (группа 4), а затем заменить в результате я получил меньшие ограниченные группы (3, 2, а затем 1), но я понял, что это никуда меня не привело, так как это мало чем отличается от случая с ограниченной версией 3SAT, в которой может появляться каждый литерал максимум дважды, что доказано как NP-полный.

Я пытался найти в Интернете какие-либо подсказки / решения, но все, что я мог получить, это ссылка , в которой указанная подсказка не имела для меня достаточного смысла, которую я дословно воспроизвожу здесь:

Подсказка: Поскольку каждый буквальные появляется более одного раза, превратить эту проблему в проблему 2SAT - значит , полиномиальное время, если буквальный появляюсь в пункте C J и дополнение х я (т.е. ¯ х я ) в пункте C к , построить новый пункт пункт C J ∨ ¯ С к .$x_i$$C_j$$x_i$$\overline{x_i}$$C_k$$C_j \lor \overline{C_k}$

Оба и C к трем литералов каждый - я не понимаю , как я должен идти о преобразовании его в 2SAT, делая C J ∨ ¯ C K (или ¯ C J ∨ C K , если я прочитал это неправильно).$C_j$$C_k$$C_j \lor \overline{C_k}$$\overline{C_j \lor C_k}$

Буду очень признателен за любую помощь в расшифровке подсказки или в поиске пути, который я смогу исследовать.

Без ограничения общности можно предположить, что каждая переменная появляется ровно один раз положительно и ровно один раз отрицательно (если переменная появляется только один раз, задайте ее значение, чтобы удовлетворить предложению и удалить предложение). Мы также можем предположить, что переменная не появляется в предложении более одного раза (если переменная появляется в предложении как положительно, так и отрицательно, предложение удовлетворяется и может быть удалено). Это не изменит удовлетворенности.

Теперь используйте правило разрешения, чтобы исключить переменные одну за другой (поскольку каждая переменная появляется ровно один раз положительно, а один раз отрицательно - это детерминированный процесс). Если в какой-то момент мы получим пустое предложение, то множество предложений будет неудовлетворительным, в противном случае оно выполнимо. Это потому что:

• разрешение - это полная система доказательства предложения (т. е. если предложение логически подразумевается набором предложений, то оно выводится из набора предложений с использованием только правила разрешения),

• набор предложений является неудовлетворительным, если он логически подразумевает пустое предложение.

$(x \lor B) \land (\overline{x} \lor C) \land \dots)$$(B \lor C) \land \dots$, который имеет на один пункт меньше, чем до резолюции. Напротив, если вы применили это к формуле 3SAT без ограничения количества появлений каждого литерала, применение разрешения может привести к экспоненциальному увеличению числа предложений.