Вариант задачи о ранце

Как бы вы подошли к проблеме ранца в ситуации динамического программирования, если теперь вам нужно ограничить количество предметов в ранце константой $p$ ? Это та же самая проблема (максимальный вес , каждый предмет имеет значение и вес ), но вы можете добавить только предмет (ы) в рюкзак и, очевидно, нужно оптимизировать значение рюкзака.$W$W $v$$w$$p$

Нужно ли нам третье измерение или мы могли бы найти другой подход без него? Я попытался просто добавить номер элемента в рюкзаке в клетке и принимая максимальное значение в конце с числом п <= , но это не лучшее решение.$p$

Очень хороший вопрос!

Вы дважды правы

1. Распространение количества предметов в рюкзаке не приводит к оптимальным решениям.
2. Одно решение состоит в добавлении третьего измерения. Это довольно просто, но при этом необходимо учитывать некоторые факты. Обратите внимание, что это не единственная альтернатива

Далее я предполагаю, что вы знакомы с решением, основанным на динамическом программировании. В частности, я не буду обсуждать, как пройти таблицу назад, чтобы определить решение .

Давайте сначала сосредоточимся на типичном случае: количество предметов не ограничено . В этом случае вы просто строите таблицу где T i , j содержит оптимальное значение, когда общая вместимость рюкзака равна i, и рассматриваются только первые j элементов. Отсюда:$T$$T_{i,j}$$i$$j$

$T_{i,j} =\max\{T_{i,j-1}, T_{i-w_j,j-1}+v_j\}$

где и v $w_j$$v_j$ обозначают вес и стоимость элемента соответственно. Если С является общая мощность котомке и есть в общей сложности N элементов оптимальное решение дается T C , N . Известно, что этот алгоритм работает в псевдополиномиальном времени, и одна из его прелестей заключается в том, что он рассматривает только те комбинации, которые соответствуют максимальной емкости.$j$$C$$N$$T_{C, N}$

Однако этого недостаточно при добавлении ограничения: максимальное количество элементов . Причина в том, что предыдущая формула повторения не учитывает различные комбинации элементов:$p$

1. Во-первых, если то T i , j = ( T i - $T_{i,j-1}<(T_{i-w_j,j-1}+v_j)$так чтоJ-й предмет добавляется в рюкзак, несмотря на максимальное количество рассматриваемых предметов,$T_{i,j}=(T_{i-w_j,j-1}+v_j)$$j$$p$--- чтобы вы могли нарушать свои ограничения. Что ж, у вас может возникнуть соблазн применить предыдущую формулу, отслеживая количество предметов, вставленных на каждом шаге, и не добавлять другие, если количество предметов в рюкзаке превышает но,$p$
2. Во-вторых, если то T i , j = T i , j - 1, так что этот элемент не добавляется, но это может быть большой ошибкой в случае оптимального решения T i , j - $T_{i,j-1}>(T_{i-w_j,j-1}+v_j)$$T_{i,j}=T_{i,j-1}$$T_{i,j-1}$уже состоит из максимального количества предметов для вставки в рюкзак. Причина в том, что мы не сравниваем должным образом: с одной стороны, чтобы сохранить оптимальное решение, состоящее из элементов, выбранных среди предыдущих ( j - 1 ) ; с другой стороны, чтобы вставить j-й элемент и, дополнительно, рассмотреть наилучшее подмножество с ( p - 1 ) элементами среди предыдущих ( j - 1 ) .$p$$(j-1)$$j$$(p-1)$$(j-1)$

Так что первое решение состоит из добавления третьего измерения. Для вашего случая, пусть будет оптимальным решением, когда вместимость рюкзака равна i , учитываются только первые j предметов, и в рюкзак не разрешается помещать более k предметов. Сейчас,$T_{i, j, k}$$i$$j$$k$

• Если вы вычисляете для количества элементов, строго меньшего или равного количеству элементов, которые можно вставить ( j ≤ k ), то продолжайте как обычно, но используя то же значение k : T i , j , k = max { T i , j - 1 , k , T i $T_{i, j, k}$$j\leq k$$k$$T_{i,j,k} =\max\{T_{i,j-1,k}, T_{i-w_j,j-1,k}+v_j\}$
• Теперь, если вам нужно вычислить для количества элементов, строго превышающего количество элементов, которые можно вставить ( j > k ), то: T i , j , k = max { T i , j - 1 , k , T i - w j , j - 1 , k - 1 + v j$T_{i, j, k}$$j> k$$T_{i,j,k} =\max\{T_{i,j-1,k}, T_{i-w_j,j-1,k-1}+v_j\}$

Первое выражение должно быть понятным. Второе работает, поскольку -й слой таблицы T отслеживает наилучшую комбинацию ( k - 1 ) элементов среди первого ( j - 1 ), как требуется выше.$(k-1)$$T$$(k-1)$$(j-1)$

Эффективная реализация этого алгоритма не должна вычислять для всех k . Обратите внимание, что предыдущие рекуррентные отношения относятся к слою $T_{i, j, k}$$k$$k$ с и, таким образом, можно чередовать два последовательных слоя (например, если вас интересует оптимальное решение с k = 4, вы просто используете два последовательных слоя: 0 и 1, 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4 и все готово). Другими словами, этот алгоритм занимает в два раза больше памяти, чем требует традиционный подход, основанный на динамическом программировании, и, таким образом, он все еще может выполняться за псевдополиномиальное время.$(k-1)$$k=4$

Имейте в виду, однако, что это не единственное решение! И есть еще один, который вы можете найти более элегантным. В предыдущих формулах мы нашли оптимальное решение, которое состояло не более чем из элементов среди первых ( j - 1 ) как T i , j - 1 , k - 1 . Однако должно быть ясно, что это точно равно max p = 0 , j - 1 { T i , p$(k-1)$$(j-1)$$T_{i, j-1, k-1}$$\max\limits_{p=0,j-1}\{T_{i, p}\}$ просто с помощью исходной таблицы! оптимальное решение с не более $k$ элементов, также может быть получено путем рассмотрения оптимальных решений с 1 элементом, 2 элементами, 3 элементами, ... элементами ... Чтобы эта формулировка работала, вам следует Также следите за количеством элементов, рассматриваемых в каждом частичном решении, так что вам потребуется два целых числа на ячейку. Это заполнение памяти приводит к точно таким же требованиям к памяти алгоритма, показанного выше (с использованием третьего измерения в форме слоев k ) .$(j-1)$$k$

Надеюсь это поможет,