Насосная лемма для простых конечных регулярных языков

В Википедии есть следующее определение леммы прокачки для регулярных языков ...

Пусть обычный язык. Тогда существует целое число ≥ 1, зависящее только от , так что каждая строка в длиной не менее ( называется «длиной накачки») может быть записана как = (т. можно разделить на три подстроки), удовлетворяющих следующим условиям:$L$L w L p p w x y z $p$$L$$w$$L$$p$$p$$w$$xyz$$w$

1. | $y$ | ≥ 1
2. | $xy$ | ≤ $p$
3. для всех $i$ ≥ 0, $xy^iz$ ∈ $L$

Я не вижу, как это выполняется для простого конечного регулярного языка. Если у меня есть алфавит { $a,b$ } и регулярное выражение $ab$ тогда $L$ состоит только из одного слова, $a$ которым следует $b$ . Теперь я хочу посмотреть, удовлетворяет ли мой обычный язык лемме прокачки ...

Поскольку в моем регулярном выражении ничего не повторяется, значение $y$ должно быть пустым, чтобы условие 3 выполнялось для всех $i$ . Но если это так, то оно не выполняется условие 1, которое говорит, что $y$ должно быть по крайней мере 1 в длину!

Если вместо этого я позволю быть либо a , b, либо a b, тогда оно будет удовлетворять условию 1, но не выполнит условие 3, потому что оно фактически никогда не повторяется.$y$$a$$b$$ab$

Я явно упускаю что-то невероятно очевидное. Который?

Вы правы - мы не можем позволить «накачки» слова конечного . Вы упускаете то, что лемма говорит, что существует число p , но не сообщает нам число.$L$$p$

Все слова больше , чем можно прокачивать, в силу леммы. Для конечного L , это происходит так , что р больше , чем длина самого длинного слова в L . Таким образом, лемма справедлива только в вакууме и не может быть применена к любому слову в L , т. Е. Любое слово в L не удовлетворяет условию «иметь длину не менее p », как того требует лемма.$p$$L$$p$$L$$L$$L$$p$

Следствие: если имеет длину накачки p и существует какое-то слово w ∈ L длины хотя бы p , то L бесконечно.$L$$p$$w\in L$$p$$L$

Насосная лемма обычно используется на бесконечных языках, то есть на языках, которые содержат бесконечное количество слов. Для любого конечного языка , поскольку он всегда может быть принят DFA с конечным числом состояний, L должен быть регулярным.$L$$L$

Согласно Википедии ( http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages#Formal_statement ), лемма прокачки гласит: $\begin{array}{l} (\forall L\subseteq \Sigma^*) \\ \quad (\mbox{regular}(L) \Rightarrow \\ \quad ((\exists p\geq 1) ( (\forall w\in L) ((|w|\geq p) \Rightarrow \\ \quad\quad ((\exists x,y,z \in \Sigma^*) (w=xyz \land (|y|\geq 1 \land |xy|\leq p \land (\forall i\geq 0)(xy^iz\in L)))))))) \end{array}$

Для любого конечного языка пусть l m a x будет максимальной длиной слов в L , и пусть p в лемме прокачки будет l m a x + 1 . Лемма накачки справедлива, поскольку в L нет слов , длина которых ≥ l m a x + 1 .$L$$l_{max}$$L$$p$$l_{max}+1$$L$$\geq l_{max}+1$

Один из способов формализации основной части леммы о накачке заключается в следующем: :$L^{\geq k} = \{ w \in L \mid |w| \geq k\}$

Если регулярно, существует p ∈ N, так что$L$$p \in \mathbb{N}$

(*).$\qquad \displaystyle \forall w \in L^{\geq p}.\ \exists x,y,z \dots$

Для всех конечных и p > max { | ш | ∣ w ∈ L } , очевидно, что L ≥ p = ∅ . Поэтому (*) верно (слабо) для таких p .$L$$p > \max \{ |w| \mid w \in L\}$$L^{\geq p} = \emptyset$$p$