Есть ли ТМ, который останавливается на всех входах, но это свойство не доказуемо?

17

Существует ли машина Тьюринга, которая останавливается на всех входах, но это свойство не доказуемо по какой-то причине?

Мне интересно, если этот вопрос был изучен. Обратите внимание, что «недоказуемое» может означать «ограниченную» систему доказательств (которая в слабом смысле думает, что ответ должен быть да). Меня, конечно, интересует самый сильный ответ, т. Е. Тот, который невозможно доказать во всех входах, скажем, в теории множеств ZFC или что-то еще.

Мне пришло в голову, что это может быть правдой по отношению к функции Аккермана, но я не могу понять детали. Не похоже, что Википедия четко описывает этот аспект.

— ВЗН
источник

3

Арифметики Пеано достаточно, чтобы доказать, что функция Аккермана является тотальной: это упражнение 17 из заметок Яапа ван Остена « Введение в PA» .

— Дэвид Ричерби

Всего вычислимый Fn Defn Wikipedia . Обратите внимание, что этот вопрос был частично мотивирован, глядя на collatz fn, где это связанный давно открытый вопрос ...

— vzn

2

Это глупое замечание, но обратите внимание, что для каждой машины Тьюринга M, которая заканчивается на всех входах, теория является непротиворечивой теорией. Но используя теорему Гёдельса, мы можем показать, что не существует единой рекурсивной теории, которая могла бы доказать окончание всех таких машин.

P A + " M terminates on all input"

$\mathrm{PA}+\mbox{"$M$ terminates on all input"}$

— Коди

12

Да. Машина Тьюринга, которая вычисляет последовательность Гудштейна, начиная со своего ввода и заканчивая, когда последовательность достигает нуля. Это всегда заканчивается, но это не может быть доказано в арифметике Пеано. Я уверен, что есть эквивалентные вещи для ZFC или любой другой системы, которую вы можете выбрать.

Edit Для ZF, Хартманис и Hopcroft показывают , что существует машина Тьюринга , которая отвергает все входные , но что это не может быть доказано в ZF. Я не уверен, что ZF может доказать, что всегда останавливается, но он, безусловно, не может доказать, что машина «Если принимает то цикл навсегда, иначе остановка» всегда останавливается, даже если это так. Это все еще оставляет ZFC открытым, но ZF более мощный, чем PA. $M$ $M$ $M'(x)$ $=$ $M$ $x$

См. Гл. 3 из обзора Скотта Ааронсона о независимости P = NP для изложения результата Хартманиса – Хопкрофта и ссылок на их оригинальные статьи.

— Дэвид Ричерби
источник

О добавлении аксиомы выбора: ZFC не может работать лучше, чем ZF для «простых» утверждений, таких как проблема остановки (в этом случае

если я не ошибаюсь). Это потому, что ZF и ZFC доказывают абсолютно одинаковые

утверждений.

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

— Коди

6

Возьмем теорию которая, по крайней мере, так же сильна, как «базовая» арифметика, и которая рекурсивно перечислима (можно перечислить каждую теорему ). ${\cal T}$ ${\cal T}$

Построить следующую машину , которая ведет себя следующим образом на входе : $M$ $n$

If there is no proof of 0 = 1 in less than n steps in T, ACCEPT
Otherwise, LOOP.

Используя вторую теорему о неполноте, довольно легко показать, что не может доказать, что завершается на всех входных данных (если они согласованы). ${\cal T}$ $M$

Это, конечно, работает для , , , ... до тех пор, пока они согласованы. ${\cal T}=\mathrm{ZFC}$ ${\cal T}=\mathrm{PA}$ ${\cal T}=\mathrm{PA²}$

— Коди
источник

5

Некоторые недоказуемые в ПА, но истинные теоремы могут быть преобразованы в машины Тьюринга. Например, есть (усиленная версия) теоремы Рамсея , что недоказуемо в ПА, и мы можем построить машину , которая будет просто поиск подходящего . $N$

— Daniil
источник