динамическое программирование упражнений на струнах

Я работал над следующей проблемой из этой книги .

Определенный язык обработки строк предлагает примитивную операцию, которая разбивает строку на две части. Поскольку эта операция включает в себя копирование исходной строки, для строки длиной n требуется n единиц времени, независимо от местоположения среза. Предположим теперь, что вы хотите разбить строку на множество частей. Порядок, в котором делаются перерывы, может влиять на общее время работы. Например, если вы хотите вырезать строку из 20 символов в позициях $3$ и $10$ , то выполнение первого вырезания в позиции $3$ влечет за собой общую стоимость $20 + 17 = 37$ , в то время как выполнение позиции 10 вначале имеет лучшую стоимость $20 + 10 = 30$,

Мне нужен алгоритм динамического программирования, который с учетом $m$ сокращений находит минимальную стоимость разрезания строки на $m +1$ .

Основная идея такова: опробуйте все позиции реза в качестве первого выбора, рекурсивно решите соответствующие детали, добавьте стоимость и выберите минимум.

В формуле:

$\qquad \displaystyle \operatorname{mino}(s, C) = \begin{cases} |s| &, |C| = 1 \\ |s| + \min_{c \in C} \left[ \begin{align}&\operatorname{mino}(s_{1,c}, \{c' \in C \mid c' < c\})\ \\ +\ &\operatorname{mino}(s_{c+1,|s|}, \{c' - c \in C \mid c' > c\}) \end{align}\right] &, \text{ else} \end{cases}$

Обратите внимание, что применение памятки к этой рекурсии фактически экономит работу, поскольку переключение порядка любой последовательно применяемой пары сокращений приводит к решению тех же трех подзадач.

Всегда полезно сначала найти рекурсивный алгоритм, а затем превратить его в таблицу.

1. $f(C,n)$
2. $~~$ if (C = ) return 0;$\emptyset$
3. $~~$ еще
4. $~~~~$ opt = бесконечность;
5. $~~~~$ для каждого do$c\in C$
6. $~~~~~~D=\{d\in C:d<c\}$
7. $~~~~~~E=\{e-c:e\in D,e>c\}$
8. $~~~~~~opt = min\{opt,f(D,c)+f(E,n-c)\}$
9. $~~~~$ return ;$opt+n$

Поэтому вы можете спросить: не слишком ли много подмножеств С для таблицы? Заметьте, что нужны только «последовательные» подмножества. И есть только из них (почему?) Еще одна проблема:. Некоторые записи изменится значение в . Мы можем обойти это, указав начало и конец каждого а не просто указав длину. E$n \choose 2$$E$$f$

Это очень похоже на Quicksort на мультимножестве; Это оптимально, когда точка отсечения ближе всего к середине, а затем мы рекурсивно.

Если бы я дал вам перемешанную версию мультимножества M = {1,1,1..1,2,2 ... 2, ...., m, m..m}, где серии заканчиваются в каждой точке резки Вы бы оптимально быстро отсортировали его, выбрав отрезок ближайший к середине, в качестве оси. Операция разбиения элементов на левое и правое разбиение выполняет n операций так же, как и разбиение строки, поэтому вы можете использовать те же аргументы, что и для быстрой сортировки, чтобы показать, что медиана является оптимальной. $s_k$