Сложность проблемы усыновления котенка

Это произошло, когда я пытался ответить на этот вопрос о минимизации длины проводки . Я собирался назвать это проблемой "полигамного брака", но интернет, так что котята. Ура!

Предположим , что мы имеем $M$ котят , которые должны быть приняты $N$ человек, $M > N$ . Для каждого котенка, $i$ и каждого человека $j$ есть стоимость $c_{ij}$ . Мы хотели бы минимизировать общую стоимость получения всех усыновленных котят. Существует также ряд ограничений: каждый человек $j$ может усыновить не более $u_j$ котят.

Без ограничений проблема проста; каждый котенок $i$ иду с человеком $j$ , для которого $c_{ij}$ минимально. С учетом ограничений есть эффективный алгоритм для этой проблемы или NP-трудно?

Это проблема минимального расхода с максимальным расходом.

Рассмотрим граф , где A - множество котят, B - множество людей.$G=(A\cup B\cup \{s,t\},E)$$A$$B$

Пусть - емкость ребер, а c : E → R + - стоимость ребра. Мы уверены, что$C:E\to \mathbb{R}^+$$c:E\to \mathbb{R^+}$

1. Между есть ребро , где a i ∈ A и b j ∈ B , и C ( a i , b j ) = 1 , c ( a i , b j ) = c i , j .$a_i,b_j$$a_i\in A$$b_j\in B$$C(a_i,b_j)=1$$c(a_i,b_j)=c_{i,j}$
2. Между и a i ∈ A существует ребро , и C ( s , a i ) = 1 , c ( s , a i ) = 0 .$s$$a_i\in A$$C(s,a_i)=1$$c(s,a_i)=0$
3. Между и t существует ребро , и C ( b j , t ) = u j , c ( b j , t ) = 0 .$b_j\in B$$t$$C(b_j,t)=u_j$$c(b_j,t)=0$

Если максимальный поток равен , то мы знаем, что существует решение. Вы можете создать решение с минимальными затратами из максимального потока с минимальными затратами.$M$

Это минимальная масса идеального соответствия, которая является полиномиальной. Рассмотрим полный двудольный граф , в котором L содержит узел l i для каждого котенка i , R состоит из u j копий узла r j для каждого человека j и ребер e i j ∈ E между l i и каждая копия r j с весами c i j .$(L , R , E)$$L$$l_i$$i$$R$$u_j$$r_{j}$$j$$e_{ij} \in E$$l_i$$r_{j}$$c_{ij}$

Мы знаем, что в противном случае не все котята могут быть назначены лицам.$|L| \leq |R|$

Поскольку совершенное паросочетание должно соответствовать всем узлам, нам нужно добавить фиктивные узлы (для получения | L | = | R | ) и соединить их с нулевым весом ребер для всех узлов в R .$L$$|L| = |R|$$R$

Возможно, интерес представляет наблюдение, что можно свести разбиение к варианту этой проблемы. Дан экземпляр раздела с элементами с q, даже из которого мы должны выбрать подмножество S ⊆ { 1 , … , q } с | S | = Д / 2 , такие , что Σ я ∈ S х я = Σ я ∉ S х я = $\{x_1,\dots,x_q\}$$q$$S \subseteq \{1,\dots,q\}$$|S|=q/2$$\sum_{i\in S} x_i = \sum_{i\not\in S} x_i = K$, (Обратите внимание, что требование выбирать ровно половину элементов не является обычной формой, но эта форма все еще NP-трудна.) Пусть каждый котенок является элементом набора; пусть будет два человека; пусть весами будут и c i 2 = - x i ; пусть u 1 = u 2 = q / 2 . Затем этот экземпляр Kitten Утверждение имеет максимум в 0 тогда и только тогда экземпляр раздела имеет решение.$c_{i1} = x_i$$c_{i2} = -x_i$$u_1 = u_2 = q/2$$0$

$C$$Cq$

Я не уверен, что это говорит о сложности исходной задачи, но, учитывая часто встречающееся «одно из минимизации / максимизации является NP-сложным, а другое находится в P» для задач комбинаторной оптимизации, я бы начал искать эффективный алгоритм.