Как мне найти кратчайшее представление для подмножества powerset?

Я ищу эффективный алгоритм для следующей задачи или доказательства NP-твердости.

Пусть Σ - множество, а A ⊆ P ( Σ ) - множество подмножеств Σ . Найдите последовательность w ∈ Σ ∗ наименьшей длины, такую, что для каждого L ∈ A найдется такое k ∈ N , что { w k + i ∣ 0 ≤ i < | L | } = Л .$\Sigma$$A\subseteq\mathcal{P}(\Sigma)$$\Sigma$$w\in \Sigma^*$$L\in A$$k\in\mathbb{N}$$\{ w_{k+i} \mid 0\leq i < |L| \} = L$

Например, для A = { { a , b } , { a , c } } слово w = b a c является решением проблемы, поскольку для { a , b } есть k = 0 , для { a , с } есть к = 1 .$A = \{\{a,b\},\{a,c\}\}$$w = bac$$\{a,b\}$$k=0$$\{a,c\}$$k=1$

Что касается моей мотивации, я пытаюсь представить множество ребер конечного автомата, где каждое ребро может быть помечено набором букв из входного алфавита. Я хотел бы сохранить одну строку, а затем сохранить пару указателей на эту строку в каждом ребре. Моя цель - минимизировать длину этой строки.

Я считаю, что нашел сокращение от гамильтоновой траектории , доказав тем самым проблему NP-трудной.

Назовем слово w ∈ Σ ∗ свидетелем для A , если оно удовлетворяет условию из вопроса (для каждого L ∈ A существует m ≥ 1 такое, что { w m + i ∣ 0 ≤ i < | L | } = L ) ,$w\in\Sigma^*$$A$$L\in A$$m\geq 1$$\{w_{m+i}\mid 0\leq i<|L|\} = L$

Рассмотрим вариант решения исходной задачи, т.е. решим, есть ли для некоторого A и k ≥ 0 свидетель A длины не более k . Эту проблему можно решить, используя исходную задачу как оракула за полиномиальное время (найдите кратчайшего свидетеля, затем сравните его длину с k ).$A$$k\geq 0$$A$$k$$k$

Теперь по сути сокращения. Пусть G = ( V , E ) простой неориентированный связный граф. Для каждого v ∈ V пусть L v = { v } ∪ { e ∈ E ∣ v ∈ e } - множество, содержащее вершину v и все ее смежные ребра. Положим Σ = E и A = { L v ∣ v ∈ V } . Тогда $G=(V,E)$$v\in V$$L_v=\{v\}\cup\{e\in E\mid v\in e\}$$v$$\Sigma=E$$A=\{L_v\mid v\in V\}$$G$имеет гамильтонову путь тогда и только тогда, когда есть свидетель для длины A не более 2 | E | + 1 .$A$$2|E|+1$

Доказательство. Пусть v 1 e 1 v 2 … e n - 1 v n - гамильтонов путь в G и H = { e 1 , e 2 , … , e n - 1 } множество всех ребер на пути. Для каждой вершины V , определим множество U V = L v ∖ H . Выберите произвольный порядок α v для каждого U v . Слово$v_1e_1v_2\ldots e_{n-1}v_n$$G$$H=\{e_1, e_2, \ldots, e_{n-1}\}$$v$$U_v=L_v\setminus H$$\alpha_v$$U_v$w = α v 1 e 1 α v 2 e 2 … e n - 1 α v n является свидетелем для A , поскольку L v 1 представлен подстрокой α 1 e 1 , L v n как e n - 1 α n и для каждого v i , i ∉ { 1 , n } , L $w=\alpha_{v_1}e_1\alpha_{v_2}e_2\ldots e_{n-1}\alpha_{v_n}$$A$$L_{v_1}$$\alpha_1e_1$$L_{v_n}$$e_{n-1}\alpha_n$$v_i$$i\notin\{1, n\}$ i , представленe$L_{v_i}$ - 1 u v i e i . Кроме того, каждое ребро вEвстречается дважды вw,за исключением | V | -1ребро вH, которое встречается один раз, и каждая вершина вVвстречается один раз, давая | ш | =2 | E | +1.$e_{i-1}u_{v_i}e_i$$E$$w$$|V|-1$$H$$V$$|w|=2|E|+1$

Для другого направления пусть w будет произвольным свидетелем длины A не более 2 | E | + 1 . Ясно, что каждое e ∈ E и v ∈ V встречается в w хотя бы один раз. Без ограничения общности предположим, что каждое e ∈ E встречается в w не более двух раз, а каждое v ∈ V встречается ровно один раз; в противном случае можно найти более короткого свидетеля, удалив элементы из w . Пусть H ⊆ E - множество всех ребер, встречающихся в$w$$A$$2|E|+1$$e\in E$$v\in V$$w$$e\in E$$w$$v\in V$$w$$H\subseteq E$$w$ exactly once. Given the assumptions above, it holds that $|w|=2|E|-|H|+|V|$.

Рассмотрим непрерывную подстроку ш формы у е 1 е 2 ... е K V , где ¯u , об ∈ V , е я ∈ E . Мы говорим, что u , v смежны. Обратите внимание , что если е я ∈ H , то е я = { U , V } , потому что е я происходит только один раз, пока она находится рядом с двумя вершинами в G . Следовательно, самое большее$w$$ue_1e_2\ldots e_kv$$u,v\in V$$e_i\in E$$u,v$$e_i\in H$$e_i=\{u,v\}$$e_i$$G$$e_i$ can be in $H$. Similarly, no edge in $H$ can occur in $w$ before the first vertex or after the last vertex.

Now, there are $|V|$ vertices, therefore $|H|\leq |V|-1$. From there, it follows that $|w|\geq 2|E|+1$. Since we assume $|w|\leq 2|E|+1$, we get equality. From there we get $|H|=|V|-1$. By pigeonhole principle, there is an edge from $H$ between each pair of vertices adjacent in $w$. Denote $h_1h_2\ldots h_{n-1}$ all elements from $H$ in the order they appear in $w$. It follows that $v_1h_1v_2h_2\ldots h_{n-1}v_n$ is a Hamiltonian path in $G$. $\square$

Since the problem of deciding the existence of Hamiltonian path is NP-hard and the above reduction is polynomial, the original problem is NP-hard too.