подмножества бесконечных рекурсивных множеств

Недавний экзаменационный вопрос звучал так:

$A$ - бесконечное рекурсивно перечислимое множество. Докажите, что имеет бесконечное рекурсивное подмножество. $A$

Пусть бесконечное рекурсивное подмножество . Должен ли иметь подмножество, которое не является рекурсивно перечислимым? $C$ $A$ $C$

Я ответил 1. уже. Относительно 2. я ответил утвердительно и утверждал следующее.

Предположим, что все подмножества были рекурсивно перечислимыми. Поскольку бесконечен, набор степеней неисчислим, поэтому, по предположению, будет неисчислимо много рекурсивно перечислимых множеств. Но рекурсивно перечислимые множества находятся в однозначном соответствии с распознающими их машинами Тьюринга, а машины Тьюринга перечислимы. Противоречие. Таким образом, должен иметь подмножество, которое не является рекурсивно перечислимым. $C$ $C$ $C$ $C$

Это верно?

computability check-my-proof

— user1435
источник

Это не совсем правильно в конце, потому что каждый повтор перечисляется бесконечным числом машин Тьюринга, а не только одной. Вы можете обойти это, хотя.

— Карл Маммерт

@Carl: Ах да, спасибо - глупая ошибка. Но все, что мне нужно, это инъекция в ТМ, а не биекция, верно? Что касается определения вычислимости по Тьюрингу, с которым работал мой класс, то каждый TM связан с одной и только одной функцией. Так разные наборы -> разные функции распознавания -> разные ТМ, которые их вычисляют.

— user1435

! user1435: вы поменялись местами в последнем предложении. Каждая машина Тьюринга вычисляет одну функцию, но каждая вычислимая функция получается из бесконечного числа машин Тьюринга.

— Карл Маммерт

Но если моя функция f отображает {функции распознавания r} в {TMs} через f (r) = любую из бесконечно многих TM, которые ее вычисляют, у меня есть инъекция, верно? Или, я полагаю, я мог бы просто разделить {TMs} отношением эквивалентности ~, которое идентифицирует бесконечность TM, которые вычисляют ту же функцию, и затем отобразить r в соответствующий класс эквивалентности.

— user1435

Карл прав, они не находятся в взаимно однозначном соответствии, каждый набор соответствует бесконечному числу ТМ. Рассмотрение других наборов объектов, как вы делаете в своем комментарии, ничего не меняет, это не набор TM.

— Кава

Это верно.

Каждое бесконечное множество имеет неразрешимое подмножество, вы можете использовать аргумент мощности: $\aleph_0\leq C \implies \aleph_0 < 2^C$

$C$

$D = \{ i \in C \mid i \notin W_i \}$ $W_i$ $i$ $D \subseteq C$ $D$ $C$ $K = \{ i \mid i\notin W_i\}$ $C$ $D$

— Кава
источник

«У каждого бесконечного множества есть неразрешимое подмножество». Это слабее, чем утверждение, которое я пытался доказать. Я пытался доказать, что C должен иметь не-RE подмножество, а не неразрешимое подмножество. Правильно ли мое заявление?

— user1435

Да. Термин «неразрешимый» немного перегружен (в Википедии есть хорошая дискуссия ). Так что этот ответ, вероятно, означает то, что вы пытаетесь доказать.

— Дэвид Льюис

@ user1435, да, тот же аргумент работает для любого счетного класса языков, я обновил вопрос, чтобы прояснить его.

— Каве