Всегда ли функции асимптотически сопоставимы?

15

Когда мы сравниваем сложность двух алгоритмов, обычно бывает, что либо либо (возможно, оба), где и время выполнения (например) двух алгоритмов. $f(n) = O(g(n))$ $g(n) = O(f(n))$ $f$ $g$

Это всегда так? То есть всегда ли выполняется хотя бы одно из соотношений и , то есть для общих функций , ? Если нет, какие предположения мы должны сделать, и (почему) нормально, когда мы говорим о времени выполнения алгоритма? $f(n) = O(g(n))$ $g(n) = O(f(n))$ $f$ $g$

asymptotics mathematical-analysis

— Рафаэль
источник

21

Не каждая пара функций сравнима с обозначениями ; рассмотрим функции и Более того, такие функции, как , действительно возникают как время выполнения алгоритмов. Рассмотрим очевидный алгоритм перебора, чтобы определить, является ли данное целое число простым: $O(\cdot)$ $f(n) = n$

g (n) = {\begin{cases} 1 & if n is odd, \\ n^{2} & if n is even . \end{cases}

$g(n) = \begin{cases} 1 & \text{if $n$ is odd}, \\\ n^2 & \text{if $n$ is even}. \end{cases}$

g (n)

$g(n)$

n

$n$

IsPrime(n):
  for i ← 2 to (n-1)
     if i·⌊n/i⌋ = n
        return False
  return True

Этот алгоритм требует арифметических операций, когда чётно, $\Theta(1)$ $n$ операции, когдасоставно, нооперации, когдапростое число. Таким образом, формально этот алгоритмнесопоставимс алгоритмом, использующим $O(\sqrt{n})$ $n$ $\Theta(n)$ $n$ арифметических операций длякаждого. $\sqrt{n}$ $n$

В большинстве случаев, когда мы анализируем алгоритмы, нам нужна только асимптотическая верхняя граница вида для некоторой относительно простой функции . Например, большинство учебников просто (и правильно) сообщает , что бежит в арифметические операции. Типичные функции верхней границы - это произведения экспонент, полиномов и логарифмов (хотя иногда встречаются и более экзотические звери, такие как факториалы и повторные логарифмы ). Нетрудно доказать, что любые две такие функции сравнимы. $O(f(n))$ $f$ IsPrime(n) $O(n)$

Смотрите также этот вопрос MathOverflow .

— JeffE
источник

7

Из википедии определение большой буквы O:

$x$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x) \in O(g(x))$ $M$ $x_0$

$|f(x)|<= M |g(x)| \quad \text{for all} \; x > x_0$

Что происходит с функциями, которые не сходятся (к константе или бесконечности)?

$f(x) = |xsin(x)|$ $g(x) = 10$

$x_0$ $x > x0$ $x = k\pi$ $f(x) = 0$ $M$ $Mf(x) > g(x)$ $g(x) \; \not\in O(f(x))$

$|xsin(x)|$ $M$ $x_0$ $x > x_0$ $f(x) < Mg(x)$ $f(x) \not\in O(g(x))$

$Mf(x)$ $g(x)$ $g(x) = \log(x)$

— Амит
источник

6

Вот пара монотонных функций, которые не асимптотически сопоставимы. Это актуально, потому что большинство сложностей, возникающих на практике, на самом деле монотонны.

f (x) = Γ (⌊ x ⌋ + 1) = ⌊ x ⌋!

$f(x) = \Gamma( \lfloor x \rfloor + 1 ) = \lfloor x \rfloor !$

g (x) = Γ (⌊ x - 1 / 2 ⌋ + 3 / 2)

$g(x) = \Gamma( \lfloor x-1/2 \rfloor + 3/2 )$

$\Gamma$

— Амброз Бижак
источник

4

$\mathcal{L}$ $\exp(2\sqrt{\log x + \log\log x})/x^2$ $f,g \in \mathcal{L}$ $f = o(g)$ $f = \omega(g)$ $f/g$

В результате любые две «простые» функции, возникающие при анализе алгоритма , сравнимы. Здесь «простой» означает, что не существует определения по случаям (кроме конечного числа базовых случаев), и не появляются удивительные функции, такие как обратная функция Аккермана, которая иногда фигурирует во время выполнения.

— Юваль Фильмус
источник

Ницца! Следует отметить, однако, что периодические элементы часто встречаются в анализе среднего случая (алгоритма D & C). Тот, кого я знаю, связан с обеих сторон константами, поэтому они не повредят асимптотической сопоставимости.

— Рафаэль