Существуют ли неразрешимые свойства автоматов, не полных по Тьюрингу?

15

Существуют ли неразрешимые свойства линейных ограниченных автоматов (избегая трюка с пустым языком множеств)? Как насчет детерминированного конечного автомата? (отложить в сторону неразрешимость).

Я хотел бы получить пример (если возможно) неразрешимой проблемы, которая определена без явного использования машин Тьюринга .

Нужна ли полнота по Тьюрингу модели для поддержки неисчислимых задач?

computability automata undecidability

— Hernan_eche
источник

«Есть ли решение для этой системы диофантовых уравнений?» Это то, что вы спрашиваете? Мне не понятно, чего ты хочешь. Но проблема, которую я поставил, неразрешима и не затрагивает ТМ, поэтому, строго говоря, она, похоже, удовлетворяет требованиям вашего второго абзаца.

— rgrig

Решение о том, распознают ли два автомата pushdown одни и те же слова, так же как и другие проблемы с автоматами pushdown . Я не могу думать о неразрешимых проблемах, связанных с DFA.

— Джмад

1

Ответ на вопрос «Можно ли построить неразрешимую проблему для автомата, менее мощного, чем машина Тьюринга», - да . Фактически, для каждого типа автомата всегда можно определить неразрешимую проблему.

— Амелио Васкес-Рейна

1

Получив принятый ответ, я перефразировал вопрос, чтобы спросить, чего хочет ОП (очевидно).

— Рафаэль

15

Неразрешимые проблемы с контекстно-свободными грамматиками, а, следовательно, и с акцепторами pushdown, которые являются ограниченными TM из Википедии ...

Учитывая CFG, генерирует ли он язык всех строк в алфавите терминальных символов, используемых в его правилах?
Учитывая два CFG, они генерируют один и тот же язык?
Учитывая два CFG, может ли первый генерировать все строки, которые может генерировать второй?

Есть много других о CFG / PDA, а также CSG / LBA и многих других моделях "проще, чем TM".

— Дэвид Льюис
источник

+1, спасибо, я все еще испытываю желание спросить о более простом, чем CFG, и так далее ... чтобы выяснить, какая из первых (более простых) известных проблем с автоматами + неразрешима

— Hernan_eche

3

Чтобы найти «более простую» или «простейшую» проблему, которая неразрешима или имеет какое-либо свойство, вам нужно точное определение «простой», из которых многие возможны. Но классическим в автоматах и формальных языках является «уровень в иерархии Хомского» (математически говоря, это не очень большая иерархия - изначально она была предложена для грамматик естественного языка). FSA является самым низким, и я почти уверен, что любая неразрешимая проблема для FSA должна была бы ссылаться каким-то «существенным» способом на «менее простые» формализмы (все нуждающиеся в точном определении). CFL / CFG следующий по высоте, поэтому я выбрал это.

— Дэвид Льюис

+1 Я согласен, найти минимальное тоже неразрешимо, на удивление невозможно построить неразрешимую проблему для FSA, тогда возможно для CFG, просто соблазн найти что-то среднее, спасибо

— Hernan_eche

1

@Hernan_e - существует очень богатая структура моделей и языков суб-CFL - например, pda / family с 1 счетчиком, которая использует положительное целое число «counter» вместо pda; p-ход n-поворота, который допускает только повороты от увеличения до уменьшения стека и их обобщения. И есть много неразрешимых вопросов по этим вопросам, а также открытых вопросов о структурах, например: есть ли «минимальный» нерегулярный КЛЛ в некотором точном понятии «минимальный». Но этот материал, как правило, находится на уровне обучения и / или исследований.

— Дэвид Льюис

7

Непонятно, о чем вы спрашиваете в более поздней части вопроса, главным образом потому, что «проблема с моделью машины» не определена.

Я хотел бы получить пример (если возможно) неразрешимой проблемы без необходимости использования машины Тьюринга

Позвольте быть быть классом машин и давайте использовать в качестве кода . Мы можем также интерпретировать как код й TM, а затем спросить, что, если , остановит ю TM? И эта проблема о S неразрешима. $\{M_i\}$ $i$ $M_i$ $i$ $i$ $M_i$ $i$ $M_i$

Язык - это просто набор строк, то, какую интерпретацию вы присваиваете строкам, не влияет на разрешимость языка. Если вы не определите формально, что вы подразумеваете под моделью машины, и проблема с этими машинами, ваши последующие вопросы не могут быть даны ответы.

Укомплектован ли Тьюринг минимальным механизмом для решения неразрешимой проблемы?

Снова, пункт, который я упомянул выше, применим. Более разумный вопрос: все доказательства неразрешимости проходят через нечто похожее на неразрешимость проблемы остановки для ТМ? (Ответ: есть и другие способы).

Другой возможный вопрос: что является наименьшим подмножеством ТМ, где проблема остановки для них неразрешима. Очевидно, что такой класс должен содержать задачи, которые не останавливаются (в противном случае проблема тривиально разрешима). Мы можем легко создать искусственные подмножества ТМ, где проблема остановки не решаема, не имея возможности вычислить что-нибудь полезное. Более интересный вопрос - о больших разрешимых множествах ТМ, где остановка для них решаема.

Вот еще один момент: как только у вас есть очень маленькая способность манипулировать битами (например, размер полинома ), вы можете создать машину с тремя входами: , и , так чтобы она выводила 1, если является прекращение принятия вычисления TM на входе . Тогда вы можете задавать такие проблемы , как: есть ул является 1? что является неразрешимой проблемой. $\mathsf{CNF}$ $N$ $e$ $x$ $c$ $c$ $M_e$ $x$ $c$ $N(e,x,c)$

— Кава
источник

5

Существует очень простая неразрешимая проблема для конечных автоматов. Разбейте алфавит на две половины , где буквы в являются «заштрихованными» копиями. Теперь, учитывая, что конечный автомат над решает, принимает ли он строку, такую, что непробиваемая часть равна запрещенной части (если мы игнорируем столбцы). Например, строка будет в порядке (обе части ). $\Sigma \cup \bar\Sigma$ $\bar\Sigma$ $A$ $\Sigma\cup\bar\Sigma$ $a a \bar a \bar a b\bar b \bar aa$ $aaba$

Да, это проблема почтовой корреспонденции, спрятанная в автомате конечных состояний. Полнота Тьюринга далеко не очевидна в этом вопросе. Он находится там, на заднем плане, так как две копии (неразбитые и запрещенные) вместе кодируют очередь, которая сама по себе имеет силу Тьюринга.

— Хендрик Ян
источник

у вас есть ссылка на это? не ясно, как конвертировать PCP в это. Кроме того, существуют некоторые неразрешимые проблемы с «преобразователями» автомата.

— ВЗН

1

(1) Вы правы, это на самом деле связано с проблемой с двумя лентами , полосы указывают на вторую ленту. (2) Отношение к PCP следующим образом. Экземпляр PCP состоит из двух списков слов

,

. Теперь обычный язык, кодирующий PCP:

, где

- заштрихованная копия

(u_{1}, \dots, u_{n})

$(u_1,\dots,u_n)$

(v_{1}, \dots, v_{n})

$(v_1,\dots,v_n)$

{u_{1} {\bar{v}}_{1}, \dots, u_{n} {\bar{v}}_{n}}^{+}

$\{ u_1\bar v_1, \dots, u_n\bar v_n \}^+$

\bar{v}

$\bar v$

. Боюсь, у меня нет ссылки.

v

$v$

— Хендрик Ян

3

«Можно ли построить неразрешимую проблему для автомата, менее мощного, чем машина Тьюринга?»

Да. Автомат - это непротиворечивая аксиоматическая формулировка теории чисел (например, см. (1) ), и поэтому согласно первой теореме Гёделя о неполноте он должен включать неразрешимые суждения.

Пример:

Любая проблема, которая неразрешима для TM, также неразрешима для любого автомата, который может симулировать TM. Почему? Потому что, если автомат, который является менее мощным, чем ТМ, может выбрать язык, который ТМ не может решить, ТМ должен быть в состоянии решить его, моделируя автомат с получением противоречия.

— Амелио Васкес-Рейна
источник

2

Вопрос о том, стоит ли останавливать LBA, также разрешим для TM, поэтому он не был частью примеров, которые я привел в своем ответе. Любая проблема, которая неразрешима для TM, также неразрешима для LBA.

— Амелио Васкес-Рейна

1

{T | T M T h a l t s o n i n p u t T}

$\{T|TM T halts on input T\}$ что явно не разрешимо, но это надумано. Это, вероятно, может быть формализовано.

— Дэвид Льюис

1

{T | TM T (T) halts}

$\{T|\text{ TM } T(T) \text{ halts}\}$

1

@DavidLewis roseck не утверждает , что проблема неразрешима о ДЧ еще неразрешимой , если вы переосмысливать его как о НКС. roseck просто заявляет , что если есть проблема , которая не может быть решена путем ДЧ тогда точно такая же проблема, без переосмысления и не могут быть решены либо МТ может имитировать. Проблема остановки TM и проблема остановки LBA - две разные проблемы.

— Бен

1

@Ben - если так, то "... неразрешим для любого автомата, который ..." должен был бы быть " мимо ". Но это тривиальное утверждение.

— Дэвид Льюис

1

Эмиль Пост хотел найти ответ именно на этот вопрос: существует ли нерекурсивный (невычислимый) набор, который не решает проблему остановки. Он преуспел лишь частично, но он создал то, что называется простыми наборами .

Из Википедии:

Подмножество натуральных чисел называется простым, если оно ко-бесконечно и рекурсивно перечислимо, но каждое бесконечное подмножество его дополнения не может быть рекурсивно перечислено. Простые множества являются примерами рекурсивно перечислимых множеств, которые не являются рекурсивными. Взгляните на статью в Википедии для получения дополнительной информации и ссылок, простой набор .

— Пол Г.Д.
источник