MIN-2-XOR-SAT и MAX-2-XOR-SAT: они NP-сложные?

Какова сложность $\text{MIN-2-XOR-SAT}$ и $\text{MAX-2-XOR-SAT}$ ? Они в П? Они NP-хард?

Чтобы формализовать это более точно, пусть

Φ (x) = \land_{i}^{n} C_{i},

$\Phi\left(\mathbf x\right)={\huge\wedge}_{i}^{n}C_i,$

где $\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_m)$ и каждое предложение $C_i$ имеет вид $(x_i \oplus x_j)$ или $(x_i \oplus \neg x_j)$ .

Задача $\text{2-XOR-SAT}$ состоит в том, чтобы найти присваивание $\mathbf{x}$ , удовлетворяющее $\Phi$ . Эта задача находится в $P$ , так как она соответствует системе линейных уравнений mod $2$ .

Задача $\text{MAX-2-XOR-SAT}$ состоит в том, чтобы найти присваивание $\mathbf{x}$ которое максимизирует количество удовлетворенных предложений. Задача $\text{MIN-2-XOR-SAT}$ состоит в том, чтобы найти назначение для $\mathbf{x}$ которое минимизирует количество удовлетворяемых предложений. Каковы сложности этих проблем?

Вдохновленный MIN или MAX-True-2-XOR-SAT NP-hard?

— DW
источник

Ответы:

Извините за ответ на старый пост

$({x_i}\oplus x_j)$

$G$

Например:

$({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_3) \wedge({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_1}\oplus x_4)$

У нас есть такой график:

Grafo No Bipartito

это не двудольный

Есть три условия, которые являются выполнимыми, и поэтому мы должны просто устранить преимущество

$k$ $k$

Для сокращения мы просто создаем новый литерал для каждой вершины и создаем для каждого ребра предложение, соединяющее два литерала.

Например:

У нас есть этот график,

Grafo No Bipartito 2

$({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_4) \wedge({x_2}\oplus x_4) \wedge ({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_4}\oplus x_5) \wedge ({x_3}\oplus x_5)$

$k$ $k$

— rotia
источник

Вы должны сделать это явно: поскольку MAX-CUT является NP-Hard, сокращение до MAX-XORSAT означает, что это также NP-Hard.

— Сурьма

-1

$(x_i\oplus x_j)$ $x_i$ $x_i\oplus x_j$ $x_i\neq x_j$ $x_i\oplus x_j$ Истинно, если соответствующим вершинам в графе назначены разные цвета.

Если все вершины графа можно раскрасить, используя 2 цвета, и ни одна из двух вершин с общим краевым участком не будет присвоена один и тот же цвет, тогда уравнение выполнимо.

Но граф 2-раскрашивается тогда и только тогда, когда это двудольный граф. И определение, является ли граф двудольным, может быть сделано за полиномиальное время. Поэтому проблема в P, потому что если мы можем определить за полиномиальное время, что граф является двудольным графом, то он разрешим, в противном случае он не разрешим.

— jcod0
источник

(x_{i} \oplus x_{j})

$(x_i \oplus x_j)$

(x_{k} \oplus \neg x_{l})

$(x_k \oplus \neg x_l)$

k, l

$k,l$

(x_{k} \oplus \neg x_{l})

$(x_k \oplus \neg x_l)$

Это подводит меня к более серьезной проблеме с вашим ответом. Проблема не в том, чтобы определить, является ли формула выполнимой; проблема состоит в том, чтобы определить назначение, которое удовлетворяет максимальному / минимальному количеству предложений. Ваш алгоритм только проверяет, является ли формула выполнимой. Таким образом, он решает 2-XOR-SAT, но не решает MIN-2-XOR-SAT или MAX-2-XOR-SAT - но я уже знал, что 2-XOR-SAT находится в P, как объяснено в вопрос. Я что-то не так понял?

— DW

x_{i} \oplus x_{k}

$x_i\oplus x_k$

Но я до сих пор не понимаю, как это решает мой второй комментарий. Вы решили частный случай проблемы, о которой я не спрашивал. Короче говоря, этот ответ не отвечает на вопрос, который я задал.

— DW