Достижимое пространство состояний 8-головоломки

Я только начал изучать искусственный интеллект и мне интересно , почему достижимо фазовое пространство 8-головоломки . Я вижу , что число перестановок из плитокно не сразу очевидно, почему половина возможных состояний головоломки недоступна в любом данном состоянии. Кто-нибудь может уточнить?$9!/2$$9!$

Изображение 8-головоломки для справки со случайной конфигурацией на левом и целевом состоянии справа:

Это расширение этой презентации .

Потому что граф состояний состоит из двух несвязанных компонентов одинакового размера. Без ограничения общности можно считать, что целевым состоянием является .$1\;2\;3\;...\;15\;\Box$

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15  *

Учитывая состояние перестановка инверсия является плитка , которая помещается после но ; это происходит, когда (a) находится в том же ряду , но справа от него, или (b) находится в нижнем ряду:Т я Т J я < J Т я Т J Г $S$$T_i$$T_j$$i < j$$T_i$$T_j$$T_i$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 3  .  .  1      .  7  .  .
 .  .  .  .      .  5  .  .
 .  .  .  .      .  .  .  .
    (a)             (b)

Мы определяем как количество плиток , которое появляется после . Например, в состоянии:T i i < j T $N_j$$T_i$$i < j$$T_j$

 1  2  3  4
 5 10  7  8
 9  6 11 12
13 14 15  *

мы имеем, что после есть один тайл ( ), который должен быть перед ним, поэтому ; после есть четыре фрагмента ( ), которые должны быть перед ним, поэтому . Т 6, Н 7 = 1, Т 10, Т 7 , Т 8 , Т 9 , Т 6, Н 10 = $T_{7}$$T_6$$N_7=1$$T_{10}$$T_7, T_8, T_9, T_6$$N_{10}=4$

Пусть будет суммой всех и номера строки пустого тайлаN я T $N$$N_i$$T_{\Box}$

В приведенном выше примере мы имеем:$N = N_7 + N_8 + N_9 + N_{10} + row(T_{\Box}) = 1 + 1 +1 + 4 + 4=11$

Мы можем заметить, что при перемещении пустой плитки по горизонтали не изменяется; если мы переместим пустую плитку вертикально, изменится на четное количество.$N$ $N$

Например:

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  2  3      .  .  *  3
 4  5  *  .      4  5  2  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 3 \mbox{ (2 is placed after 3,4,5)} - 1 \mbox{ (empty tile is moved up)} = N + 2$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  *  4      .  .  3  4
 2  5  3  .      2  5  *  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 1 \mbox{ (2 is placed after 3)} - 2 \mbox{ (4,5 are placed after 3)} + 1 \mbox{ (empty tile is moved down)} = N$

Таким образом, является инвариантом при любом законном перемещении пустой плитки .$N \bmod 2$

Мы можем заключить, что пространство состояний разделено на две несвязанные половины, одна из которых имеет а другая имеет .$N \bmod = 0$$N \mod 2 = 1$

Например, следующие два состояния не связаны:

 1  2  3  4     1  2  3  4
 5  6  7  8     5  6  7  8
 9 10 11 12     9 10 11 12
13 14 15  *    13 15 14  *  
    N = 4         N = 5