Эффективное кодирование головоломок судоку

Указание любой произвольной сетки 9x9 требует указания позиции и значения каждого квадрата. Наивное кодирование для этого может дать 81 (x, y, значение) триплетов, требуя 4 бита для каждого x, y и значения (1-9 = 9 значений = 4 бита) в общей сложности 81x4x3 = 972 бита. При нумерации каждого квадрата можно уменьшить информацию о местоположении до 7 бит, отбрасывая бит для каждого квадрата и в общей сложности 891 бит. Задав предопределенный порядок, можно уменьшить его более радикально, до 4 битов для каждого значения, всего 324 бита. Однако в судоку могут отсутствовать номера. Это обеспечивает возможность уменьшения количества чисел, которые должны быть указаны, но может потребовать дополнительных битов для указания позиций. Используя нашу 11-битную кодировку (положение, значение), мы можем указать головоломку с подсказками с $n$ бит, например, минимальная (17) головоломка требует 187 бит. Лучшее кодирование, о котором я до сих пор думал, - это использовать один бит для каждого пробела, чтобы указать, заполнен ли он, и, если да, следующие 4 бита кодируют число. Это требует 81 + 4 n битов, 149 для минимальной загадки ( n = 17 ). Существует ли более эффективная кодировка, желательно без базы данных каждой действующей настройки судоку? (Бонусные баллы за решение общего n из N × N головоломки)$11n$$81+4n$$n=17$$n$$N \times N$

Мне только что пришло в голову, что многие головоломки будут чередованием другой или просто перестановкой цифр. Возможно, это поможет уменьшить количество необходимых бит.

Согласно Википедии ,

Число классических сеток 9 × 9 для решения судоку составляет 6 670 903 752 021 072 936 960 (последовательность A107739 в OEIS) или приблизительно .$6.67×10^{21}$

Если я правильно сделал свою математику ( ), что составляет 73 (72.498) битов информации для справочной таблицы.$\frac{ln{(6,670,903,752,021,072,936,960)}}{ln{(2)}}$

Но:

Было показано, что число принципиально различных решений, когда учитываются симметрии, такие как вращение, отражение, перестановка и перемаркировка, составляет всего 5 472 730 538 [15] (последовательность A109741 в OEIS).

Это дает 33 (32,35) бита, поэтому вполне возможно, что умный метод указания того, какую перестановку использовать, может получить меньше полных 73 битов.

Существует ли более эффективная кодировка, желательно без базы данных каждой действующей настройки судоку?

Да. Я могу думать о кодировке, улучшающей вашу 149-битную кодировку как минимум $9\times 9$ головоломкой в 6 или 9 бит, в зависимости от условия. Это без базы данных или какого-либо реестра других решений или частичных плат. Здесь это идет:

Сначала вы используете бита для кодирования числа m с минимальным количеством появлений на доске. Следующие 4 бита кодируют фактическое число л в раз м появляется. Следующие 7 л биты кодирования каждой из позиций , в которых$4$$m$$4$$\ell$$m$$7\ell$ появляется.$m$

Следующие биты являются флагами, указывающими, имеют ли оставшиеся позиции номер или нет (вы просто пропускаете позиции, в которых находится m ). Где бы ни был один из этих битов , следующие 3 бита указывают, какое это число (в упорядоченном наборе { 1 , … , 9 } без m ). Например, если m = 4 и 3 бита равны , то число в соответствующей позиции на плате является 5-м (считая от 0) в наборе { 1 , 2 , 3 $81-\ell$$m$1$\{1,\ldots,9\}$$m$$m=4$101 , так что это 6 . Числа j < m будут закодированы в двоичном виде как j - 1 , а числа j > m будут закодированы как j - 2 . Так как мы уже написали ℓ позиций, только 3 ( n - $\{1,2,3,5,6,7,8,9\}$$6$$j<m$$j-1$$j>m$$j-2$$\ell$будут добавлены ) бита для кодирования остальной платы на этом шаге.$3(n-\ell)$

Таким образом, общее число битов , необходимых для кодирования плату с помощью этой процедуры ,

Для отметим, что ℓ может быть 0 или 1 (в общем, ℓ ≤ ⌊ n / 9 ⌋ ). Таким образом, B может быть 140 или 143 в зависимости от того, есть ли число на доске.$n=17$$\ell$$\ell\leq\lfloor n/9\rfloor$$B$

Стоит отметить, что решение Кевина намного лучше в общем случае. Это кодирование использует не более 149 бит только для или для n = 20 при условии, что ℓ = 0 . По крайней мере, это показывает общую идею о том, как воспользоваться тем фактом, что N = 9 очень близко к 2 ⌊ log 2 N which (что означает, что мы склонны «терять память», используя 4 бита на значение, поскольку 4 бита позволяют нам, чтобы выразить N = 16 чисел, а также.$n\in\{17,18,19\}$$n=20$$\ell=0$$N=9$$2^{\lfloor\log_2N\rfloor}$$N=16$

$n=17$

.  .  .   .  .  .   .  1  .
4  .  .   .  .  .   .  .  .
.  2  .   .  .  .   .  .  .

.  .  .   .  5  .   4  .  7
.  .  8   .  .  .   3  .  .
.  .  1   .  9  .   .  .  .

3  .  .   4  .  .   2  .  .
.  5  .   1  .  .   .  .  .
.  .  .   8  .  6   .  .  .

$m=7$0111$\ell=1$0001$m$$36$0100100011100010100100

01$1$01$4$0000000100101100$m=7$ , и закодируем 8 как 110(шестое число, считая от 0 в списке 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 9${1,2,3,4,5,6,8,9}$) и 9 как 111. Полная кодировка выглядит следующим образом:

// m=7, l=1 and its position on the board.
011100010100100
// Numbers 1 and 4 at the beginning. Note that 1 is encoded 000, and 4 is 011.
0000000100001011
// Numbers 2 and 5.
0000000001001000000000001100
// Numbers 4 and 8. We skip the appearance of 7 and encode 8 as 110.
010110001110
// 3, 1 and 9. 9 is encoded as 111.
00010100000100001111
// 3, 4, 2, 5, 1, 8, 6 and the last empty cells.
0000101000101100100100011000100000000000111001101000

Полная кодировка есть 01110001010010000000001001010110000000001001000000000001100010110001110000101000001000011110000101000101100100100011000100000000000111001101000, и читатель может проверить, что длина этой строки действительно 143 :-)