Какой самый быстрый алгоритм для умножения двух n-значных чисел?

Я хочу знать, какой алгоритм является самым быстрым для умножения двух n-значных чисел? Пространственная сложность может быть смягчена здесь!

На данный момент алгоритм Фюрера Мартина Фюрера имеет временную сложность $n \log(n)2^{Θ(log*(n))}$ которой используются преобразования Фурье по комплексным числам. Его алгоритм фактически основан на алгоритме Шенхаге и Штрассена, который имеет временную сложность $Θ(n\log(n)\log(\log(n)))$

Другими алгоритмами, которые работают быстрее, чем алгоритм умножения в начальной школе, являются умножение Карацубы, которое имеет временную сложность $O(n^{\log_{2}3})$ ≈ $O(n^{1.585})$ и алгоритм Toom 3, который имеет временную сложность из $Θ(n^{1.465})$

Обратите внимание, что это быстрые алгоритмы. Найти быстрый алгоритм для умножения является открытой проблемой в области компьютерных наук.

Ссылки :

1. Алгоритм Фюрера
2. БПФ умножение больших чисел
3. Быстрое преобразование Фурье
4. Умножение Кука-Кука
5. Алгоритм Шёнхаге – Штрассена
6. Алгоритм Карацубы

Обратите внимание, что алгоритмы FFT, перечисленные в avi, добавляют большую константу, что делает их непрактичными для чисел, меньших, чем тысячи + бит.

В дополнение к этому списку, есть еще несколько интересных алгоритмов и открытых вопросов:

• Умножение линейного времени на модели ОЗУ (с предварительным вычислением)
• Умножение на константу является сублинейным ( PDF ) - это означает сублинейное количество сложений, которое в сумме даетразрядность. Это по сути эквивалентно длинному умножению (где вы сдвигаете / прибавляете на основе числас в нижнем числе), которое является, но сускорение.1O(n2)O(logn$\mathcal{O}\left(\frac {n^2} {\log n} \right)$$1$$\mathcal{O}\left({n^2} \right)$$\mathcal{O}\left(\log n\right)$
• Система счисления остатков и другие представления чисел; умножение почти линейного времени. Недостатком является то, что умножение является модульным, и {обнаружение переполнения, четность, сравнение по величине} являются такими же сложными или почти такими же сложными, как преобразование числа обратно в двоичное или подобное представление и выполнение традиционного сравнения; это преобразование, по крайней мере, так же плохо, как и традиционное умножение (на данный момент AFAIK).
  • Другие представления:
    • [ Логарифмическое представление ]: умножение - это дополнение логарифмического представления. Пример: $$16 \times 32 = 2^{\log_2 16 + \log_2 32} = 2^{4+5} = 2^{9}$$
      • Недостатком является то, что преобразование в логарифмическое представление и из него может быть таким же сложным, как умножение или сложнее, представление также может быть дробным / иррациональным / приблизительным и т. Д. Другие операции (сложение?), Вероятно, более сложны.
    • Каноническое представление : представьте числа как показатели простой факторизации. Умножение - это сложение показателей. Пример: $$36 \times 48 = 3^2\cdot 5^1\times 2^{2}\cdot 3^1\cdot 4^1 = {2^2}\cdot {3^2} \cdot 4^1 \cdot 5^1$$
    • Недостатком является то, что требуются факторы или факторизация, гораздо более сложная проблема, чем умножение Другие операции, такие как сложение, вероятно, очень сложны.