Как допустимая эвристика обеспечивает оптимальное решение?

При использовании A * (или любого другого лучшего алгоритма поиска пути) мы говорим, что используемая эвристика должна быть допустимой , то есть она никогда не должна переоценивать фактическую длину пути решения (или перемещения).

Как допустимая эвристика обеспечивает оптимальное решение? Я предпочтительно ищу интуитивное объяснение.

Если вы хотите, вы можете объяснить, используя эвристику Манхэттена для 8-головоломки.

Хотя ответ Антона абсолютно совершенен, позвольте мне попытаться дать альтернативный ответ: допустимость означает, что эвристика не переоценивает усилия по достижению цели, т. для всех n в пространстве состояний (в 8-головоломке это означает только для любой перестановки плиток и цели, которую вы рассматриваете в настоящее время) где h ∗ ( $h(n) \leq h^*(n)$$n$ - оптимальная стоимость для достижения цели.$h^*(n)$

Я думаю, что наиболее логичный ответ, чтобы увидеть, почему обеспечивает оптимальные решения, если h ( n ) допустим, это потому, что он сортирует все узлы в OPEN в порядке возрастания f ( n ) = g ( n ) + h ( n ), а также потому что оно не останавливается при генерации цели, а при ее расширении:$A^*$$h(n)$$f(n)=g(n)+h(n)$

1. Поскольку узлы раскрываются в порядке возрастания вы знаете, что ни один другой узел не является более перспективным, чем текущий. Помните: h ( n ) допустимо, так что наличие наименьшего f ( n ) означает, что у него есть возможность достичь цели более дешевым путем, чем у других узлов в OPEN. И это верно, если вы не можете доказать обратное, т. Е. Путем расширения текущего узла.$f(n)$$h(n)$$f(n)$
2. Поскольку останавливается только тогда, когда он продолжает расширять целевой узел (в противоположность остановке при его генерации), вы уверены (из первого пункта выше), что ни один другой узел не ведет через более дешевый путь к нему.$A^*$

И это, по сути, все, что вы найдете в оригинальном доказательстве Nilsson et al.

Надеюсь это поможет,

Если эвристическая функция недопустима, мы можем получить оценку, превышающую фактическую стоимость пути от некоторого узла к целевому узлу. Если эта более высокая оценка стоимости пути находится на пути с наименьшей стоимостью (которую мы ищем), алгоритм не будет ее изучать и может найти другой (не менее затратный) путь к цели.

Посмотрите на этот простой пример.

Пусть и G - соответственно начальный и целевой узлы. Пусть h ( N ) - оценка длины пути от узла N до G , ∀ N в графе. Кроме того, пусть c ( N , X i ) будет функцией стоимости шага от узла N до его соседа X i , ∀ N и i = 1 .. m , где $A$$G$$h(N)$$N$$G$$\forall N$$c(N, X_{i})$$N$$X_i$$\forall N$$i=1..m$$m$это число соседей (т. е. функция, которая возвращает стоимость ребра между узлом N и одним из его соседей).$N$$N$

Пусть эвристика будет

• $h(B) = 3$

• $h(C) = 4$

Эта эвристическая функция недопустима, поскольку h ( C ) = 4 > c ( C , G ) = $H$

$A^*$$A$$B$$G$$A \rightarrow B \rightarrow G$$4$$A \rightarrow C \rightarrow G$$3$