Ограниченная версия проблемы клики?

Рассмотрим следующую версию задачи Клика, где вход имеет размер и нас просят найти клику размера . Ограничение состоит в том, что процедура принятия решения не может изменить входной граф в любое другое представление и не может использовать любое другое представление для вычисления его ответа, кроме дополнительных битов помимо входного графа. Дополнительные биты могут использоваться, например, в алгоритме грубой силы, чтобы отслеживать состояние исчерпывающего поиска клики, но процедура принятия решения может использовать их любым другим способом, который все еще решает проблему. $n$ $k$ $\log(n^k)$

Что-нибудь известно на данный момент о сложности этого? Была ли проделана какая-либо работа над другими ограничениями Клики, и если да, могли бы вы направить меня к такой работе?

complexity-theory time-complexity

— Застенчивый человек
источник

Вы хотите, чтобы константа

была такой же, как размер клики

k

$k$

\lg n^{k}

$\lg n^k$

k

$k$

— Лукас Кук

@ LucasCook Да.

— ShyPerson

Это звучит так, как будто вы спрашиваете, можно ли решить задачу клики с полной NP в логарифмическом пространстве. Используя машины Тьюринга, одна лента доступна только для чтения и хранит входной график. Другая лента ограничена , так что есть пространство для некоторой константы . Класс задач, решаемых в этой модели, известен как , детерминированное логарифмическое пространство. (См. Википедию или в зоопарке сложности ) $c \lg n$ $c$ $L$

Неизвестно, будет ли , но положительный ответ будет означать, что , поэтому вы (почти наверняка?) Не найдете ответа. и означает , что влечет . $\mathrm{CLIQUE} \in L$ $P = NP$ $L \subseteq P \subseteq NP$ $\mathrm{CLIQUE} \in L$ $\mathrm{CLIQUE} \in P$ $P = NP$

Изменить, если я неправильно истолковал проблему:

Если вы намереваетесь, что в совпадает с размером клика (т. Е. Объем памяти масштабируется с помощью ввода ), то существует простой алгоритм перебора: вы можете перебрать все возможные наборы узлов и проверьте, образуют ли они -клик. Отправной точкой для поиска лучших решений могут быть ссылки из [1]. $k$ $\lg n^k = k \lg n$ $k$ $k$ $k$ $k$

[1] Вирджиния Василевская, «Эффективные алгоритмы для задач клики» pdf link

— Лукас Кук
источник

@ShyPerson Хорошо. Входная строка часто неизменна в моделях с ограниченным пространством (например, сублинейные космические ТМ в

или

), так что это может быть хорошим местом для поиска. Я не уверен в формальном способе сказать, что «вы не можете сделать другое представление», кроме простого ограничения пространства. Если мне позволят пространство сделать еще одну копию

, что именно представляет собой другое представление? Что если я «случайно» построю достаточное представление для особенно разреженного или сжимаемого графа?

L

$L$

N L

$NL$

G

$G$

— Лукас Кук

не является NP-полным! (если

)

k C L I Q U E

$\mathrm{kCLIQUE}$

P = N P

$\mathrm{P}= \mathrm{NP}$

— Алекс тен Бринк

@AlextenBrink Вы имеете в виду, что kCLIQUE является проблемой функции? Я изменил имя на CLIQUE выше (я всегда путаю их!), Но мне странно сказать, что kCLIQUE в NP, если вы имеете в виду проблему с функцией.

— Лукас Кук

Имеется ввиду searchпроблема, в данном случае.

— Лукас Кук

- этопроблема

для фиксированного

, в то время как

имеет

как часть ввода. Проверяя все подграфы размера

вы получаетеалгоритм

, который является полиномиальным, если

фиксирован, но суперполиномным, если, например,

k C L I Q U E

$\mathrm{kCLIQUE}$

C L I Q U E

$\mathrm{CLIQUE}$

k

$k$

C L I Q U E

$\mathrm{CLIQUE}$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k})

$O(n^k)$

k

$k$

k = Θ (n)

$k=\Theta(n)$

— Алекс тен Бринк