Достаточное и необходимое условие регулярности языка

Какое из следующих утверждений является правильным?

1. достаточные и необходимые условия о регулярности языка существуют, но еще не обнаружены.

2. Там нет достаточного и необходимого условия о регулярности языка.

3. Насосная лемма является необходимым условием нерегулярности языка.

4. Насосная лемма является достаточным условием нерегулярности языка.

Я знаю, что # (4) является правильным, а # (3) ложным, потому что «обратное утверждение этого утверждения неверно: язык, удовлетворяющий этим условиям, все еще может быть нерегулярным», но что можно сказать о (1) и (2)?

Вот некоторые необходимые и достаточные условия для регулярности языка.

Теорема. Пусть . Следующие условия эквивалентны:$L\subseteq\Sigma^*$

• генерируется регулярным выражением (т. Е. Определением регулярного языка).$L$
• распознается недетерминированным конечным автоматом (Клини).$L$
• распознается недетерминированным конечным автоматом без ε- переходов.$L$$\varepsilon$
• распознается детерминированным конечным автоматом (Скотт и Рабин).$L$
• порождается грамматикой ( N , Σ , P , S ) , где N - конечное подмножество Σ ∗ (Фрейзер и Пейдж).$L$$(N,\Sigma,P,S)$$N$$\Sigma^*$
• генерируется левой (соответственно правой) регулярной контекстно-свободной грамматикой.$L$
• Индекс отношения Нерода конечен (Анил Нероде, Линейные автоматные преобразования , 1958). Это широко (и неправильно) известно как теорема Майхилла-Нерода. ≡ L - отношение, используемое для построения минимального DFA обычного языка.$\equiv_L$$\equiv_L$
• $\sim_L$$\sim_L$
• $L$$\sim_L$$L$
• $L$
• $L$

Если язык никак не удовлетворяют условия насосных лемм для регулярных языков , то это не регулярно. Это означает , что насосная лемма является достаточным условием нерегулярности языка.

Таким образом, утверждение 1, 2 и 3 является ложным, а утверждение-верно, как вы упомянули.

Достаточно (и необходимо) показать существование DFA, NFA или регулярного выражения, чтобы доказать, что язык является регулярным, что опровергает (1) и (2). Чтобы показать, что язык не является регулярным, необходимо показать, что DFA, NFA или регулярное выражение не существует.

Насосная лемма - полезный инструмент, чтобы показать (возможно, противоречие), что язык не является регулярным, показывая, что DFA не существует.

$L$$L$

Это условие не позволяет легко доказать нерегулярность языка. Я не знаю каких-либо условий, которые легко проверить, которые всегда доказывают нерегулярность нерегулярного языка.

Есть еще два «теста», которые могут доказать нерегулярность языка (хотя они могут не работать): вы можете попытаться дать некоторый обычный язык, такой, чтобы их объединение / пересечение / различие / конкатенация / частное было нерегулярным ( таких операций больше), и вы можете попытаться подсчитать, сколько слов он генерирует, и проверить, не противоречит ли оно выражению для количества слов на обычном языке (как можно найти на странице Википедии, на которую вы ссылались).

Существует замечательная связь между теорией формального языка и формальными степенными рядами, доказанная Хомским и Шютценбергером [CS63] . В форме, найденной в [SS78] гл. II, теорема 5.1

$L$$\mathbb{K}$$\mathrm{char}(L)$$\mathbb{K}$

$\mathrm{char}(L)$

[SS78] Арто Саломаа и Матти Соиттола. Автоматно-теоретические аспекты формальных степенных рядов. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978.

[CS63] Ноам Хомский и Марсель П. Шютценбергер. Алгебраическая теория контекстно-свободных языков. В P. Braffort и D. Hirschberg, редакторы, Компьютерное программирование и формальные языки, стр. 118–161. Северная Голландия, 1963.

$I_{L}$$x$$y$$x I_{L} y$

1. $z_{x}$$xz_{x} \in L$$yz_{x} \in L$
2. $z_{y}$$yz_{y} \in L$$xz_{y} \in L$

$I_{L}$$L$

$I_{L}$