Закрытие против правильного отношения с фиксированным языком

Мне бы очень понравилась ваша помощь в следующем:

Для любого фиксированного мне нужно решить, есть ли замыкание под следующими операторами:$L_2$

1. $A_r(L)=\{x \mid \exists y \in L_2 : xy \in L\}$

2. .$A_l(L)=\{x \mid \exists y \in L : xy \in L_2\}$

Соответствующие варианты:

1. Обычные языки закрыты под соответственно A r , для любого языка L $A_l$$A_r$$L_2$

2. Для некоторых языков обычные языки закрыты под A l соответственно. A r , а для некоторых языков L 2 обычные языки не закрыты под A l соответственно. Г .$L_2$$A_l$$A_r$$L_2$$A_l$$A_r$

Я полагал, что ответом для (1) должно быть (2), потому что, когда я получаю слово в и w = x y, я могу построить автомат, который может угадать, где x поворачивается к y , но тогда он должен проверить что у принадлежит L 2, и если он не будет регулярным, как он это сделает? Ответ на это (1).$w \in L$$w=xy$$x$$y$$y$$L_2$

Что я должен сделать, чтобы правильно проанализировать эти операторы и определить, закрыты ли под ними обычные языки или нет?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно разрешить любой . Итак, давайте подумаем, что L 2 - очень сложный язык (скажем, какой-то неразрешимый язык).$L_2$$L_2$

Начнем с простого вопроса: (часть вопроса 2). Возьмем L 2, чтобы быть неразрешимым, и L = { ε } . Что происходит?$A_l(L)$$L_2$$L=\{\varepsilon\}$

(мораль: всегда проверяйте "крайности": пусто , L = { ε } и L = Σ ∗ ...)$L$$L=\{\varepsilon\}$$L=\Sigma^*$

Теперь для . Это отличный вопрос (обычно бонусный вопрос в Final / Homeworks). Действительно, регулярные языки замкнуты относительно A r для любого языка L 2 . Даже неразрешимый L 2 . Круто, верно?$A_r$$A_r$$L_2$$L_2$

Итак, как мы можем построить автомат для если нет машины, которая принимает L 2 ?$A_r(L)$$L_2$

Здесь приходит магия «абстрактного мышления», т. Е. Экзистенциального доказательства . Если кто-то дает нам мы можем использовать эту информацию, чтобы показать, что существует некоторый автомат для решения A ( L ) . Теперь подробности.$L_2$$A(L)$

Начнем с автомата (назовем D F A L ). Предположим, что после обработки x мы окажемся в состоянии q . Нам нужно принять , если существует у ∈ L 2 таким образом, что если мы будем продолжать от д обработки у нас будет в конечном итоге в конечном состоянии D F A L . Не существует машины, которая могла бы сказать нам, находится ли y в L 2 , но мы можем сделать q конечным состоянием D F A A $L$$DFA_L$$x$$q$$y\in L_2$$q$$y$$DFA_L$$y$$L_2$$q$$DFA_{A_L}$если вышеуказанное условие выполнено, то есть, если существует какой - то таким образом, что , если мы начинаем в ц и процесса у нас в конечном итоге в конечном состоянии D F A L .$y\in L_2$$q$$y$$DFA_L$

Итак, чтобы построить мы исследуем каждое из состояний D F A L и сделаем каждое состояние q принимающим, если мы можем взять некоторый y ∈ L 2, и этот y приведет нас от q к принимающему состоянию Д Р л .$DFA_{A_L}$$DFA_L$$q$$y\in L_2$$y$$q$$DFA_L$

Итак, бесконечен, и у нас может не быть компьютера для перечисления всех слов в L 2 , но все это не имеет значения ... вышеуказанный автомат четко определен, даже если я не могу его нарисовать для вас государство государством. Магия.$L_2$$L_2$

Я не уверен, ищете ли вы ответ на проблему или нет, поэтому я не предоставляю его напрямую. (Я могу, если хотите, хотя.)

Ты спрашивал:

Что я должен сделать, чтобы правильно проанализировать эти операторы и определить, закрыты ли под ними обычные языки или нет?

Ваш стартовый подход хорош. Как и во всех «открытых» вопросах теории, вы должны интуитивно почувствовать, правда это или нет. Обычно это делается с помощью примеров (как общего, так и крайнего случая) или изучения особых случаев (например, что если является регулярным «контекстно-свободным»). Для этой проблемы вам нужно выработать некоторые предположения относительно того, можете ли вы построить автомат / регулярное выражение для операторов или нет. После того:$L_2$

• Если вы думаете , что вы можете, вы должны быть в состоянии построить этот автомат / регулярное выражение для любого регулярного входного языка .$L$
• Если вы думаете, что не можете, вы обычно найдете примеры языков и L 2, такие, что A x не является замкнутым.$L$$L_2$$A_x$

(и если один подход не работает, вы всегда можете попробовать другой.)

Для самой проблемы:

$A_l(L) = L_2 / L$$A_r(L) = L / L_2$$L_2$

$A_r$$A_l$$A_l$$L_2$$L_2$$A_l$$L_2$$A_l$$A_l$ $L_2$