«Плотные» регулярные выражения порождают

Вот гипотеза для регулярных выражений:

Для регулярного выражения пусть длина | R | быть количеством символов в нем, игнорируя скобки и операторы. Например | 0 ∪ 1 | = | ( 0 ∪ 1 ) ∗ | = $R$$|R|$$|0 \cup 1| = |(0 \cup 1)^*| = 2$

Гипотеза: если и L ( R ) содержит каждую строку длины | R | или меньше, то L ( R ) = Σ ∗ .$|R| > 1$$L(R)$$|R|$$L(R) = \Sigma^*$

То есть, если является «плотным» до R длины «s, то R фактически производит все.$L(R)$$R$$R$

Некоторые вещи, которые могут быть актуальны:

1. Только небольшая часть необходима для генерации всех строк. Например , в двоичном виде , R = ( 0 ∪ 1 ) * ∪ S будет работать для любого S .$R$$R = (0 \cup 1)^* \cup S$$S$
2. В какой-то момент в должна быть звезда Клини . Если этого не произойдет, будет пропущена строка размером меньше, чем | R | ,$R$$|R|$

Было бы неплохо увидеть доказательство или контрпример. Есть ли какой-то случай, когда я явно пропустил, что это неправильно? Кто-нибудь видел это (или что-то подобное) раньше?

Ваша гипотеза опровергнута Китом Эллулом, Брайаном Кравцем, Джеффри Шаллитом и Мингвэй Ваном в их статье «Регулярные выражения: новые результаты и открытые проблемы». Пока статья не доступна онлайн, разговор есть.

В статье они определяют меру , который является количеством символов в R , не считая ϵ или ∅ . Однако, ∅ можно исключить из каждого выражения не создающего пустой язык, а выражение может быть «очищены» , так что число ε содержит самое большее | a l p h ( R ) | (Лемма на странице 10 выступления).$|\mathrm{alph}(R)|$$R$$\epsilon$$\emptyset$$\emptyset$$\epsilon$$|\mathrm{alph}(R)|$

На странице 51 для каждого они строят регулярное выражение размера O ( n ) над { 0 , 1 }, которое генерирует все строки размером не более Ω ( 2 n n ) , но не генерирует все строки. Обратите внимание, что «размер» здесь и в вашем смысле, и в их смысле, так как мы используем нотацию big-O. Они также ставят открытый вопрос, чтобы найти наилучшую зависимость между двумя параметрами.$n \geq 3$$O(n)$$\{0,1\}$$\Omega(2^n n)$