Прямое восстановление из

Мы знаем , что в N L по Иммерман-Szelepcsenyi теорема теорема и так ы т - с O п п е с т я v я т у есть N L - h a r d, следовательно, s t - n $st\text{-}non\text{-}connectivity$$\mathsf{NL}$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NL\text{-}hard}$ множества один лог-пространство сводится к с т - с о н н е с т я V я т у . Но есть ли прямое / комбинаторное сокращение, которое не проходит через граф конфигурации машин Тьюринга в N L ?$st\text{-}non\text{-}connectivity$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NL}$

$\mathsf{stConnectivity}$ (называемый):$stPATH$

Учитывая направленный граф и вершины s и t ,$G$$s$$t$

Есть ли направленный путь от вершины к вершине t ?$s$$t$

Разъяснения:

Можно предположить, что граф задается матрицей смежности (однако это не существенно, поскольку стандартные представления графов конвертируемы в лог-пространстве друг к другу).

Можно распаковать доказательство Несса ы т - с уплотнительным п п е с т я v я т у и переместить его в доказательство поэтому доказательство не использует его , что теоремы в виде леммы , Однако по сути это все та же конструкция. Я ищу не это, я хочу концептуально прямое сокращение. Позвольте привести аналогию со случаем N P. Мы можем уменьшить различные N P - гр уплотнительного м р $\mathsf{NL\text{-}hard}$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NP}$ проблемы другдругом, используя тот фактчто они находятся в N P , следовательносвести к S Т и S Т сводится к другой проблеме. И мы можем распаковать и объединить эти два сокращения, чтобы получить прямое сокращение. Однако часто можно дать концептуально гораздо более простое сокращение, которое не проходит этот промежуточный этап (вы можете удалить упоминание об этом, но оно все еще присутствует концептуально). Например, чтобы уменьшить Н в м Р т ч или V е т т е х С о $\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP}$$SAT$$SAT$$HamPath$ или 3 - С о л о г я н г к S A T мы не говорим , Н в м Р т ч находится в N P иследовательносводится к S A , так как S A T представляет Н Р - ч г д . Мы можем дать простую интуитивную формулу, которая выполнима, если граф имеет гамильтонову путь. Другой пример, у нас есть сокращения от других проблем в$VertexCover$$3\text{-}Coloring$$SAT$$HamPath$$\mathsf{NP}$$SA$$SAT$$\mathsf{NP\text{-}hard}$ к с т - С о п п е с т я v я т у , которые не зависят от N L - с о м п л е т е ности ы т - C ö н н е гр т я V я т у , например , С у с л е , С т р о л $\mathsf{NL}$$st\text{-}Connectivity$$\mathsf{NL\text{-}complete}$$st\text{-}Connectivity$$Cycle$ ,т.д., они включают модификацию на входном графике (и не относятся к какимлибо машин Тьюрингачто решает их).$StronglyConnected$

Я до сих пор не вижу причин, почему это не может быть сделано для этого. Я ищу сокращение такого рода.

Это может быть случай , что это не представляется возможным , и любое сокращение будет концептуально пройти через Бытийность результат. Однако я не понимаю , почему это должно быть так, почему ситуация будет отличаться от N P случае. Очевидно, чтобы дать отрицательный ответ на мой вопрос, нам нужно быть более формальным, когда концептуально доказательство$\mathsf{NL\text{-}hard}$$\mathsf{NP}$ include another proof (which is proof theory question that AFAIK not settle in a satisfactory way). However note that for a positive answer one does not need such a formal definition and I am hoping that is the case. (I will think about how to formalize what I am asking in a faithful way when I find more free time. Essentially I want a reduction that would work even if we didn't know that the problem is complete for $\mathsf{NL}$.)

Используя доказательство Иммерман-Szelepcsenyi теорема отлично, используя ности с т P A T H и конфигурации графе Н L машины, что я хочу , чтобы избежать.$\mathsf{NL\text{-}complete}$$stPATH$$\mathsf{NL}$

Можно, если и запутано, преобразовать доказательство теоремы Иммермана-Селецкого в нужное вам сокращение. Абсолютно нет необходимости использовать NL-полноту st-связности.

$G=(V,E),s,t$$G'=(V',E'),s',t'$$V'$$d$$s$$d-1$$d-1$$d-1$$d$$d$$d-1$$d-1$$t$$s$$d$$d+1$, we copy the requisite information. The starting vertex $s'$ accounts for the fact that $s$ is the only vertex of distance zero. The ending vertex $t'$ is pointed at by all vertices representing the fact that the process has finished up to (and including) distance $n-1$, where $n=|V|$.

As you can see, it will be quite messy to write everything in full and correctly, but definitely possible. No overt use of NL-completeness was made, in that we never use the configuration graph of any NL machine. That's not needed, since we have something better than the configuration graph - the input instance itself.