Время выполнения оптимального алгоритма жадной

16

$|P| = n$ $k$ $k$ $n$ $C = \{ c_1,c_2,\ldots,c_k\}$ $k$ $\text{cost}(C) = \max_i \min_j D(p_i, c_j)$ $D$ обозначает евклидово расстояние между входной точкой и центральной точкой . Каждая точка присваивается ближайшему центру кластера, группируя вершины в различных кластеров. $p_i$ $c_j$ $k$

Эта проблема известна как (дискретная) проблема кластеризации и является -hard. С помощью задачи -комплектного доминирующего множества можно показать, что если для задачи с существует алгоритм -approximation, то . $k$ $\text{NP}$ $\text{NP}$ $\rho$ $\rho < 2$ $\text{P} = \text{NP}$

Оптимальный алгоритм приближения очень прост и интуитивно понятен. Сначала произвольно выбирают точку и помещают ее в множество центров кластеров. Затем выбирают следующий кластерный центр так, чтобы он был как можно дальше от всех других кластерных центров. Так что пока , мы неоднократно находим точку , для которых расстояние максимизируется и добавить его в . Однажды мы сделали. $2$ $p \in P$ $C$ $|C| < k$ $j \in P$ $D(j,C)$ $C$ $|C| = k$

Нетрудно видеть, что оптимальный жадный алгоритм выполняется за времени. Возникает вопрос: можем ли мы достичь времени? Насколько лучше мы можем сделать? $O(nk)$ $o(nk)$

algorithms computational-geometry

— Juho
источник

7

Проблему действительно можно рассматривать геометрически так, чтобы мы хотели покрыть точек шарами, где радиус наибольшего шара минимизирован. $V$ $k$

действительно довольно просто достичь, но можно добиться большего. Федер и Грин, Оптимальные алгоритмы приближенной кластеризации, 1988,достигают времени выполнения используя более умные структуры данных, и далее показывают, что это оптимально в алгебраической модели дерева решений. $O(nk)$ $\Theta(n \log k)$

— Юхо
источник

1

Мой вопрос: есть ли способ заставить жадную стратегию выбора работать за время? $o(|V|^2)$

Мне кажется, что вы это описали. Если я читаю слишком далеко в вашем описании, вот что я понял. Иметь ассоциативную структуру данных , связывающую каждый элемент с суммой расстояния до элементов . Эта структура данных может быть инициализирована по стоимости с расстоянием до и эта инициализация может создать следующий элемент как побочный эффект без увеличения сложности. Он может быть обновлен после выбора нового элемента по цене , снова создавая следующий элемент в качестве побочного эффекта. Повторите, чтобы получить $V$ $S$ $O(|V|)$ $p$ $O(|V|)$ $S$ , Результирующая сложность . $O(k |V|)$

— AProgrammer
источник

1

Но обратите внимание на ограничение на

: в худшем случае оно может быть большим, чем

, Я подозреваю, что есть структуры данных, которые достигают даже лучших границ, но я действительно не знаю.

k

$k$

| V |

$|V|$

— Юхо

Ой,

а не

в вашем вопросе. (Обратите внимание, что в вашем вопросе вы вернулись к

, так что это должно быть улучшение). То, что я предлагаю, не использует тот факт, что вы работаете в евклидовом пространстве, я думаю, вам придется использовать это, чтобы добиться большего успеха, но в настоящее время я не понимаю, как это сделать.

o

$o$

O

$O$

k^{3}

$k^3$

— AProgrammer