Слова с одинаковым правым и левым ассоциативным произведением

9

Я начал изучать недетерминированные автоматы, используя книгу Хопкрофта и Уллмана . Я застрял в проблеме, которая показалась мне очень интересной:

Дать недетерминированный конечный автомат, принимающий все строки, имеющие одинаковое значение, при оценке слева направо как справа налево путем умножения в соответствии со следующей таблицей:

$\qquad \displaystyle\begin{array}{c|ccc} \times & a & b & c \\ \hline a & a & a & c \\ b & c & a & b \\ c & b & c &a \end{array}$

Поэтому, если у нас есть строка , произведение слева направо равно а произведение справа налево равно $abc$
$(a \times b) \times c=a \times c=c$
$a \times (b \times c)=a \times b=a$

Таким образом, не должен быть приемлемым для автоматов. Для меня очевидно, что любая строка или или является допустимой строкой (их правая и левая оценка работают над одними и теми же частичными строками). Легко дать NFA, который описывает оценку слева направо, но проблема в том, что если машина пытается вычислить оценку справа налево, я думаю, что ей нужно знать длину строки (поэтому необходима бесконечная память). $abc$ $aa^*$ $bb^*$ $cc^*$

Итак, как недетерминированные автоматы могут оценить справа налево, чтобы сравнить с оценкой слева направо?

— Мистер Ариэль
источник

6

Первый трюк заключается в том, чтобы рассматривать таблицу умножения как таблицу переходов автомата где каждое состояние представляет букву в таблице умножения, но пока не беспокоится о принятии. Так что буквы слева и в теле таблицы на самом деле являются состояниями - было бы точнее записать их как , но я не буду. Буквы в верхней части являются входными данными. $A$ $q_a, q_b, q_c$

Затем создайте автомат (« » для транспонирования) для обратного умножения путем транспонирования : $A_T$ $T$ $A$

$\qquad \displaystyle\begin{array}{c|ccc} A_T & a & b & c \\ \hline a & a & c & b \\ b & a & a & c \\ c & c & b & a \end{array}$

Таким образом, переводит вас в состояние , и , как вы заметили, переходит в состояние of $A(abc)$ $c$ $A_T(cba)$ $a$ $A_T$

Тем не менее, предполагает, что вы идете справа налево, а мы все еще хотим идти слева направо. Таким образом, второй трюк состоит в том, чтобы перевернуть автомат (а не умножение, которое бы просто вернуло нас, если бы мы начали), путем обращения всех стрелок в обратном направлении , что приводит к недетерминированному автомату указанному в таблице переходов ниже, с подмножества, обозначенные каскадными буквами, чтобы курица не царапалась, поэтому действительно . (надеюсь, я все понял - кажется, работает). $A_T$ $A_{TR}$ $ac$ $\{a,c\}$

$\qquad \displaystyle\begin{array}{c|ccc} A_{TR} & a & b & c \\ \hline a & ab & b & c \\ b & ∅ & c & a \\ c & c & a & b \\ \hline ab & ab & bc & ac \\ bc & c & ac & abc \\ ac & abc & ab & bc \\ abc & abc & abc & abc \\ ∅ & ∅ & ∅ & ∅ \end{array}$

Вы можете интерпретировать это как недетерминированный автомат только с тремя строками над линией или с определенной версией со всеми 8 строками.

Наконец, машиной для решения проблемы является автомат перекрестных произведений исходных и , то есть для выполнения пересечения двух автоматов (нам больше не нужен ) , имеет состояния , которые представляют собой пары , такие как . Функция перехода запускает и независимо. Один начальное состояние $A$ $A_{TR}$ $A \times A_{TR}$ $A_T$ $A \times A_{TR}$ $\langle a,ac\rangle$ $A$ $A_{TR}$ $\langle 1,1 \rangle$ переходит в при входе , в при входе и т.д. $\langle a,a \rangle$ $a$ $\langle b,b \rangle$ $b$

Принимая состояния в неопределенных версиях являются и т.д. В детерминированной версии, принимая состояния пары , в которых первый компонент второго компонента набора, например, или . $\langle a,a \rangle$ $\in$ $\langle a,a \rangle$ $\langle b,bc \rangle$

дополненное и определенное, как показано, имеет состояний, так что извините, если я не напишу это подробно. Но недетерминированная версия имеет только состояний. $A \times A_{TR}$ $25=3\cdot 8+1$ $10=3\cdot 3+1$

— Дэвид Льюис
источник

Спасибо, это действительно помогло мне в вашем ответе понять идею недетерминизма и «обратного» автомата. У меня были проблемы с пониманием этой концепции с помощью книги Хопкрофта, и теперь я использую книгу Сипсера «Введение в теорию вычислений», это действительно хорошо.

— г-н Ариэль

Рассмотрим ввод

.

переходит к

после ввода

, а затем

под входным

, так

не принято, но должно быть?

b a

$ba$

⟨ 1, 1 ⟩

$\langle 1, 1 \rangle$

⟨ b, b ⟩

$\langle b, b \rangle$

b

$b$

⟨ c, \emptyset ⟩

$\langle c, \varnothing \rangle$

a

$a$

b a

$ba$

— Смешение

8

Если регулярный язык, то , язык, состоящий изреверсавсех слов в , также является регулярным. Примите это как упражнение. $(\ast)$ $L$ $L^R$ $L$

Как это помогает нам решить проблему? Пусть - языки, состоящие из всех строк, которые оцениваются как при оценке слева направо. Интересующий вас язык Это показывает, что если вы знаете, как доказать $L_a,L_b,L_c$ $a,b,c$

(L_{a} \cap L_{a}^{R}) \cup (L_{b} \cap L_{b}^{R}) \cup (L_{c} \cap L_{c}^{R}) .

$(L_a \cap L_a^R) \cup (L_b \cap L_b^R) \cup (L_c \cap L_c^R).$

, тогда вы можете построить NFA для рассматриваемого языка.

(*)

$(\ast)$

На самом деле, если вы используете идею доказательства , то, вероятно, вы можете просто пойти дальше и построить автомат. Итак, давайте рассмотрим это. В частности, давайте попробуем построить NFA для , языка всех строк, которые оцениваются как при оценке справа налево. $(\ast)$ $L_a^R$ $a$

$b$ $b$ $bx = a$ $x = b$ $c$ $a$ $a$ $b$

Этот намек должен дать вам достаточно, чтобы подумать и, надеюсь, решить проблему.

— Юваль Фильмус
источник

Хороший способ доказать это с формулой - upvote для этого. Что касается альтернативной идеи «недетерминированного предположения и проверки», то это обычно нормально для доказательства, но на самом деле довольно сложно реализовать, как того требует проблема. Я думаю, что здесь есть много недостающих деталей, таких как, как отслеживать строку из серверной части.

— Дэвид Льюис,

@ Дэвид, детали отсутствуют специально.

— Юваль Фильмус

@Yuval - он не сказал, что это домашнее задание - мы доверяем людям здесь, верно? Я также думаю, что это доказательство существования приведет к довольно большой машине, вероятно, намного больше, чем необходимо.

— Дэвид Льюис

@DavidLewis: Жиль дал более полный ответ, который показывает, что NFA действительно не слишком большой; недетерминизм делает это для вас. Однако соответствующий DFA может быть огромным.

— Рафаэль

@MohamedAbbas Возможно, я не планирую проверять.

— Юваль Фильмус

6

Милый.

$\overrightarrow x \xrightarrow{\;y\;} \overrightarrow z$ $x \cdot y = z$ $\{\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c\}$ $\overrightarrow 1$ $\overrightarrow 1 \xrightarrow{\;x\;} \overrightarrow x$ $x$ $\overrightarrow x$ $x$

Теперь давайте создадим автомат, который вычисляет произведение справа налево. Этот будет недетерминированным. Как мы это делаем? Просто ... Чтобы пойти в другом направлении, просто поменяйте местами все : стрелки и направление продукта.

$\overrightarrow{x} \xrightarrow{\;y\;} \overrightarrow{x \cdot y\:}$ $\overleftarrow{x \cdot y\:} \xleftarrow{\;x\;} \overleftarrow{y}$ $\overleftarrow{x} \xleftarrow{\;y\;} \overleftarrow{y \cdot x\:}$ ,

$\overleftarrow 1$

$(\overrightarrow{x_1}, \overleftarrow{x_2}) \xrightarrow{\;y\;} (\overrightarrow{z_1}, \overleftarrow{z_2})$ $\overrightarrow{x_1} \xrightarrow{\;y\;} \overrightarrow{z_1}$ $\overleftarrow{x_2} \xrightarrow{\;y\;} \overleftarrow{z_2}$ $(\overrightarrow 1, \overleftarrow x)$ $(\overrightarrow x, \overleftarrow x)$ $x$

— Жиль "ТАК - перестань быть злым"
источник

\vec{x} \overset{y}{\leftarrow} \vec{y \cdot x}

$\overrightarrow{x} \xleftarrow{\;y\;} \overrightarrow{y \cdot x\:}$ приводит к конечному множеству состояний? IAC, это не так просто, как «перевернуть все», так как вам все равно придется потреблять слева направо, но умножать справа налево, и я не уверен, что вы это сделали.

— Дэвид Льюис,

{o v e r l e f t a r r o w a, \overset{\leftarrow}{b}, \overset{\leftarrow}{b}, \overset{\leftarrow}{1}}

$\{overleftarrow{a},\overleftarrow{b},\overleftarrow{b},\overleftarrow{1}\}$

5

Кажется, что ваша главная проблема заключается в использовании недетерминизма, поэтому позвольте мне остановиться на этом подробнее.

Основная идея, которую используют другие, заключается в том, что недетерминированная машина может угадать конечный результат.

$abc$

- - $b$ $c$
- - $c$ $c$
$b$ $a$
- - $a$ $c$

Как видите, NFA может угадывать и проверять все возможные вычисления снизу вверх . Поскольку принятый язык определяется как набор строк, который принимается хотя бы одним прогоном , все неприемлемые прогоны на входе игнорируются; НФА "всегда угадывает правильно".

Теперь NFA легко запомнить свой первый выбор до конца. Если он принимает, он может сравнить запомненный символ с lr-произведением (детерминистически), полученным параллельно (то, как пересечение языка относится к NFA, наверняка описано в Ullman / Hopcroft и любом другом базовом учебнике).

— Рафаэль
источник

Идея угадать строку была для меня странной, но я читал книгу о Сипсере и думаю, что это лучший подход для таких новичков, как я, в теории вычислений.

— г-н Ариэль

Подумайте о том, чтобы угадать как ответвление с предполагаемым вводом Но нужно быть осторожным со стратегиями угадывания - убедитесь, что любое хранилище, необходимое для угадывания, ограничено равномерно для всех разветвленных потоков, иначе у вас больше не будет автомата с конечным состоянием. Также необходима равномерная оценка количества активных ветвлений. Я думаю, что описание Рафаэля здесь работает, но оно должно быть упомянуто по крайней мере.

— Дэвид Льюис