Как сопоставить ленты с «К-ленты» машины Тьюринга в одной ленте «1-ленты» машины Тьюринга

Я читаю Sipser , и я нахожу , что это трудно понять , что этот процесс таким образом, что , если вы дадите мне K машины Тьюринга с к лентам, я могу выплюнуть эквивалентную машину Тьюринга только с одной лентой. Пример был бы хорош. На самом деле, отработанный пример , который показывает , как перейти от ТМА , который имеет ленту на один , который имеет 1 ленту , что я действительно искал. Я не смог найти один до сих пор. Я также не ищу какие - либо доказательства.$k$

Ответ бесстыдно скопировал с себя :

Многоленточная машина Тьюринга по большей части такая же, как и одноленточная машина, за исключением того, что у нас есть расширенная функция перехода где k - количество лент. Таким образом, в каждом состоянии функция перехода считывает содержимое каждой ленты, переходит в новое состояние, (возможно) записывает что-то на каждую ленту и перемещает каждую головку - так же, как обычный TM, за исключением того, что теперь у нас есть больше вещей для чтения, записи и двигаться.$Q\times\Gamma^{k}\rightarrow Q\times\Gamma^{k}\times\{L,R\}^{k}$$k$

Как показывает ваш вопрос, такую ​​машину можно смоделировать с помощью однотонной ТМ. Более того, это можно сделать только с помощью квадратичного замедления (поэтому для полиномиально закрытых классов достаточно поговорить об одноленточных машинах).

Доказательство этому несколько сложное и легко доступное с помощью простого веб-поиска, поэтому я просто нарисую раскладку клавиш на одну ленту.$k$

Основная идея довольно проста; мы просто добавляем несколько новых символов и отслеживаем каждую ленту и возглавляем одну за другой. На каждом этапе вычислений мы могли посетить только ограниченное количество любых лент, поэтому нам нужно только хранить столько информации о каждой ленте. Таким образом, для каждого мы добавляем новый символ γ _ к Γ, который будет указывать, где находится головка (для каждой ленты) в любой точке вычисления. Мы также вводим символ-разделитель # для Γ, который будет указывать начало и конец «виртуальных» лент. Заданный вход ω = ω 1 … ω $\gamma \in \Gamma$$\underline{\gamma}$$\Gamma$$\#$$\Gamma$$\omega = \omega_{1}\ldots\omega_{n}$(мы можем предположить, что даже на многолентовой машине все входные данные находятся на первой ленте - доказательство того, почему это хорошее упражнение) на многоленточной машине наша одноленточная машина будет иметь ввод

$$\underbrace{\#\underline{\omega_{1}}\ldots\omega_{n}\#\underline{\sqcup}\#\underline{\sqcup}\#\ldots\#\underline{\sqcup}\#}_{k \text{ sections, one per tape}}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots$$

$k$

(Надеюсь) простой пример:

$\Sigma=\{0,1\}$$\Gamma=\{0,1,\sqcup\}$$\omega=10101$

$$\begin{array}{lc} \text{Tape 1:} & \underset{\wedge}{1}0101\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 2:} & \underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 3:} & \underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \end{array}$$ $\wedge$

Чтобы создать комбинированную одноленточную машину, нам нужно добавить новые символы в ленточный алфавит:

1. Нам нужен символ, который будет обозначать начало и конец моделируемых лент
2. $\Gamma$

$\Gamma' =\{0,1,\sqcup,\underline{0},\underline{1},\underline{\sqcup},\#\}$

$$\#\underset{\wedge}{\underline{1}}0101\#\underline{\sqcup}\#\underline{\sqcup}\#\sqcup\sqcup\sqcup\ldots$$ $\wedge$) и смоделированные головки из 3 смоделированных лент (подчеркнутые символы). Конечно, лента как обычно простирается бесконечно вправо. Я также слегка обманул, переместив головку ленты к первому символу в первой строке; строго он должен начинаться с самой левой ячейки, но это тривиальная техническая задача.

$\#$

$1$$1$$0$$1$

$1$

$$\begin{array}{lc} \text{Tape 1:} & 1\underset{\wedge}{0}101\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 2:} & 1\underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 3:} & \underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \end{array}$$

$0$

$$\begin{array}{lc} \text{Tape 1:} & 10\underset{\wedge}{1}01\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 2:} & 1\underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 3:} & 1\underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \end{array}$$

$\Gamma'$

$$\#1\underset{\wedge}{\underline{0}}101\#1\underline{\sqcup}\#\underline{\sqcup}\#\sqcup\sqcup\sqcup\ldots$$

После второго шага:

$$\#10\underset{\wedge}{\underline{1}}01\#1\underline{\sqcup}\#1\underline{\sqcup}\#\sqcup\sqcup\sqcup\ldots$$

Конечно, это высокоуровневое представление процесса - я не пытался объяснить, как создавать состояния, или как каждая моделируемая лента становится длиннее (для этого вам понадобится небольшая процедура, которая проверяет, сталкивались ли вы с конец смоделированной ленты, затем перемещает все вправо на один шаг вперед и сжимает новый пробел - т.е. он добавляет только смоделированные ячейки ленты, когда они необходимы).