Эквивалентность определений Колмогорова-Сложности

Есть много способов определить сложность Колмогорова , и обычно все эти определения они эквивалентны с точностью до аддитивной постоянной. То есть, если $K_1$ и $K_2$ являются функциями сложности Колмогорова (определяемыми через разные языки или модели), то существует постоянная $c$ такая, что для каждой строки $x$ , $|K_1(x) - K_2(x)| < c$ . Я полагаю, что это потому, что для любой колмогоровской функции сложности $K$ и для каждого $x$ она имеет$K(x) \le |x| +c$ , для некоторой константы$c$ .

Меня интересуют следующие определения для $K$ , основанные на машинах Тьюринга

1. число состояний : определите $K_1(x)$ как минимальное число $q$ такое, что TM с $q$ состояниями выводит $x$ на пустую строку.
2. Длина программы : определите $K_2(x)$ как самую короткую «программу», которая выводит $x$ . А именно, исправить способ кодирования ТМ в двоичные строки; для машины $M$ обозначим его (двоичный) , кодирующий , как $\langle M \rangle$ . $K_2(x) = \min |\langle M \rangle|$где минимум превышает все , которые выводят на пустой вход.$M$$x$

Являются и эквивалент? Какая связь между ними, и какая лучше понимает понятие колмогоровской сложности, если они не эквивалентны.$K_1$$K_2$

Что особенно меня увеличение скорости с , которая, по-видимому, не является суперлинейной (или, по крайней мере, линейной с постоянной такой, что , а не ). Рассмотрим самый простой TM, который выводит - тот, который просто кодирует как часть своих состояний и функций переходов. сразу видно, что . Однако кодировка той же машины намного больше, и полученная мной тривиальная оценка равна,$K_2$$x$$C>1$$K_2 < C|x|$$|x|+c$$x$$x$$K_1(x) \le |x|+1$$K_2(x) \le |x|\log |x|$

Я заранее прошу прощения за то, что даю слишком много деталей, но я собираюсь противоречить людям.

О $K(x)≤K'(x)+c$

Тот факт, что обычно происходит от интерпретатора языка описания № 2 в язык описания № 1, а не от перевода программ № 2 в программы № 1.$K_1(x)≤K_2(x)+c$

Например, и вы получите это неравенство так же просто, как это:$K_\mathtt{C}(x)≤K_\mathtt{Python}(x)+c_\mathtt{py2c}$

void py_run(char * s) {
    // code of your Python interpreter
}

int main(void) {
    py_run("Put here your Python program of size Kpython(x)");
}

Тогда ваша константа будет примерно равна 528 + 490240688, где 528 - это число битов для этого кода, а 490240688 бит - это размер официального интерпретатора Python, написанного на C. Конечно, вам нужно только интерпретировать то, что возможно в ваш язык описания для Python, так что вы можете сделать лучше, чем 69 МБ :-)$c_\mathtt{py2c}$$528+490240688$$528$$490240688$

Важно то, что вы можете написать свою программу на Python линейно в своем C-коде. Например, язык, в котором вам нужно поместить «BANANA» между каждым символом, не очень хорошая программа описания, и тогда свойство имеет значение false. (Но если язык описания разрешает вам записывать данные в отдельный файл или в блок, эта проблема исчезнет)

Почему ваш имеет недостатки$K_1(x)=q$

Проблема с вашим определением состоит в том, что вам может потребоваться более q бит для описания машины Тьюринга с q состояниями, потому что вам нужно кодировать переходы.$K_1$$q$$q$

Таким образом, нет и K 2 , вероятно, не эквивалентны, но это в основном вина K 1 . Я думаю , что мы можем доказать , что для всех а > 0 существует с таким , что K 1 ( х ) ≤ | х | + c a . Конечно, любого a < 1 достаточно, чтобы опровергнуть тот факт, что K 1 не является допустимой функцией, поскольку это будет означать, что мы можем кодировать больше всех 2 n возможных строк длины$K_1$$K_2$$K_1$$a>0$$c_a$$K_1(x)≤a|x|+c_a$$a<1$$K_1$$2^n$ в виде п + гр через бит.$n$$an+c_a$

Но размер невероятно тесен при сборке машин Тьюринга. Идея состоит в том, что в блоке состояний есть b 2 b способов найти переходы для каждого состояния, и это лучше, чем обычные 2 b способы, которыми вы можете заполнить b бит. Затем вы можете хранить в каждом блоке журнала 2 б бит информации. (не 2 log 2 b, потому что вы должны входить и выходить из блока так или иначе)$b$$b^{2b}$$2^b$$b$$\log_2 b$$2\log_2 b$

Так что да ... С блоками размером вы, вероятно, могли бы доказать K 1 ( x ) ≤ a | х | + c a . Но я уже написал слишком много о том, почему число состояний не является допустимой функцией сложности Колмогорова. Если вы хотите, чтобы я уточнил, я сделаю.$2^{1/a}$$K_1(x)≤a|x|+c_a$

Теперь о $K_2$

Наивные описательный язык примерно соответствует (т.е. войти 2 Q для каждого следующего состояния и сведения о записи и прекращения).$K_2(x)=q\cdot 2 \cdot (\log_2 q + 2)$$\log_2q$

Как вы, кажется, убеждены, что лучшим способом обмана было бы авторизация для кодирования «данных» в машину Тьюринга, возможно, путем добавления двоичного тега на языке описания, который говорит, является ли состояние состоянием данных ( который просто пишет немного и переходит в следующее состояние) или, если он делает что-то еще. Таким образом, вы можете хранить один бит вашего в одном бите вашего описательного языка.$x$

Однако, если вы сохраняете тот же самый вы можете использовать ту же технику, которую я использовал в предыдущей части, чтобы сохранить несколько битов, но я, похоже, застрял на K 2 ( x ) ≤ a | х | журнал | х | + c (для любого a > 0 ) .. возможно меньше чем log | х | даже, но получение O ( | x | ) кажется трудным. (И я ожидаю, что это должно быть | x | , даже не O ( $K_2$$K_2(x)≤a|x|\log|x|+c$$a>0$$\log|x|$$O(|x|)$$|x|$ .)$O(|x|)$