Случайная выборка в многоугольнике

9

Я хотел бы выбрать равномерно случайную точку в многоугольнике ...

Если выбрать большое количество, они с равной вероятностью могут попасть в два региона, если они имеют одинаковую площадь.

Это было бы довольно просто, если бы это был квадрат, поскольку я бы взял два случайных числа в [0,1] в качестве моих координат.

У меня есть форма правильного многоугольника, но я бы хотел, чтобы она работала для любого многоугольника.

/programming/3058150/how-to-find-a-random-point-in-a-quadrangle

— Джон Мангуаль
источник

9

Триангуляция многоугольника
Определите, в каком из треугольников должна лежать точка (взвешивает площади треугольника)
Пример точки в треугольнике, как описано в этом посте

— A.Schulz
источник

Разве этот вопрос не является дубликатом старого, на который вы ссылаетесь?

— Рафаэль

@ Рафаэль: Связанный, но более общий, я бы сказал.

— А.Шульц

4

$1/2$

$\{(x,y) : x,y \geq 0, x+y \leq 1\}$ $x \in [0,1]$ $2(1-x)$ $r \in [0,1]$ $x = 1-\sqrt{1-r}$ $y \in [0,1-x]$ $s \in [0,1]$ $y = (1-x)s$ $x,y \in [0,1]$ $x+y > 1$ $(x,y)$ $(1-x,1-y)$

— Юваль Фильмус
источник

Выборка отклонения будет отклонена с вероятностью не более 1/2 в двух измерениях, но в более высоких измерениях вероятность отклонения может быть намного хуже.

— DW

Отбор проб может иметь большую частоту отклонений, чем 1/2. Просто подумайте о спирали, слегка выдавленной.

— А.Шульц

Что если многоугольник гарантированно будет выпуклым?

— Юваль Фильмус

Если ваши ограничивающие рамки выровнены по оси, выпуклость не поможет; как показывают ответы на предыдущий вопрос, просто рассмотрим треугольник с вершинами в (0, 1), (1, 0) и (x, x) для очень больших x - это займет исчезающе малую часть его ограничительной рамки как х уходит в бесконечность. Если вы говорите о наименьшем возможном ограничивающем прямоугольнике, то вы, вероятно, можете получить границы для объема, который занимает ваша выпуклая форма, но тогда вам нужно найти прямоугольник ...

— Стивен Стадницки,

4

Это немного безумно, но должно работать хорошо, даже если ваш многоугольник очень странный.

$\mathbb{C}$

http://siam.org/pdf/news/1297.pdf

Затем используйте толчок равномерной плотности на диске в качестве плотности предложения в выборке Metropolis-Hastings MCMC .

— Ник Алджер
источник

Конформные карты не обязательно сохраняют область, хотя; они угол сохранения, но это почти гарантированно не пробовать полигон равномерно.

— Стивен Стадницки,

Таким образом, необходимо использовать его как предложение в MCMC, а не как фактический пробоотборник. С помощью неравенства Пуанкаре вы можете показать, что изменение конформного отображения от равномерного ограничено константой.

— Ник Алджер

a P (x) < f (x) < b P (x)

$aP(x)\lt f(x)\lt bP(x)$

a

$a$

b

$b$

f (x) = c P (x) \forall x

$f(x) = cP(x) \forall x$

— Стивен Стадницки,

Весь смысл Metropolis Hastings MCMC в том, что это предложение не является истинным распределением. Скорость сходимости цепочки MCMC зависит от того, насколько хорошо предложение приближается к истинному распределению. Наиболее распространенное предложение - поместить гауссиан в текущую точку, независимо от распределения, которое вы пытаетесь сэмплировать ...

— Ник Алджер