Покрытие прямоугольника Sweep Line

Мне дали упражнение, к сожалению, я сам не справился.

Существует множество прямоугольников и прямоугольник . Используя алгоритм подметания плоскости, определите, полностью ли покрыто набором . $R_{1}..R_{n}$ $R_{0}$ $R_{0}$ $R_{1}..R_{n}$

Более подробную информацию о принципе алгоритмов стреловидной линии смотрите здесь .

Начнем с самого начала. Изначально мы знаем алгоритм строчной линии как алгоритм для поиска пересечений отрезков, который требует двух структур данных:

набор точек событий (он хранит конечные точки сегментов и точек пересечений) $Q$
состояние (динамическая структура для множества сегментов, пересекающих линию развертки) $T$

Общая идея: предположим, что линия развертки - это вертикальная линия, которая начинает приближаться к набору прямоугольников слева. Сортируйте все координаты прямоугольников и сохраняйте их в в возрастающем порядке - нужно взять . Начните с первой точки события, для каждой точки определите набор прямоугольников, которые пересекаются с заданной координатой , идентифицируйте непрерывные сегменты прямоугольников пересечения и проверьте, полностью ли они покрывают в текущей координате . С в качестве двоичного дерева это займет $l$ $x$ $Q$ $O(n\log n)$ $x$ $R_{0}$ $x$ $T$ . Если какая-либо часть остается открытой, то не полностью покрыта. $O(\log n)$ $R_{0}$ $R_{0}$

Детали: Идея алгоритма пересечения сегментов заключалась в том, что пересекаются только смежные сегменты. Основываясь на этом факте, мы создали статус и поддерживали его в течение всего алгоритма. Я попытался найти аналогичную идею в этом случае, и пока безуспешно, единственное, что я могу сказать, это то, что два прямоугольника пересекаются, если их соответствующие координаты и перекрываются. $T$ $x$ $y$

$T$ $T$

$T$

algorithms computational-geometry

— ком
источник

Это выровненные по оси прямоугольники или нет? (Вы можете сделать это в любом случае, но это легче, если они есть.)

— Луи,

@ Луис, давайте немного упростим это, давайте предположим, что есть прямоугольники, выровненные по оси, но, конечно, общий случай более интересен

— ком

Какие точки прямоугольника являются точками событий? Все углы, левый верхний ...?

— Рафаэль

@Raphael, только x - это точки события

— ком

$n$ $R_i$ $i\ge 1$

$R_i$ $R_i$
$R_i$ $R_i$

$O(\log n)$

$R_0$ $R_0$ $O(n\log n)$ $O(n)$

В общем случае очевидный трюк не такой быстрый. Используйте стандартный алгоритм линии развертки, чтобы вычислить все плоское подразделение, индуцированное прямоугольниками.

$F'$ $R_0$ $R_0$ $O(1)$ $O(n^2\log n)$ $\Omega(n^2)$ по размеру, поэтому мы используем столько места в худшем случае, поэтому время является «экзистенциально оптимальным», но не «чувствительным к выходу».

$R_0$ $F'$ $R_i$ $f$ $R_i$ $f$ $f$ $R_i$ $f$ $f$ $R_i$

$O(n\log n)$ $O(n^2\log n)$

— Луис
источник

Q

$Q$

x

$x$

T

$T$

x_{i}

$x_{i}$

R

$R$

R_{i}, i \geq 1

$R_{i}, i \ge 1$

R_{0}

$R_{0}$

R_{0}

$R_{0}$

R_{i}

$R_i$

R_{i}

$R_i$