При тестировании n элементов, как покрыть все t-подмножества как можно меньшим количеством s-подмножеств?

Эта проблема возникла в результате тестирования программного обеспечения. Проблему немного сложно объяснить. Сначала я приведу пример, а затем постараюсь обобщить проблему.

Есть 10 предметов для тестирования, скажем, от A до J, и инструмент для тестирования, который может проверять 3 предмета одновременно. Порядок пунктов в инструменте тестирования не имеет значения. Конечно, для исчерпывающего тестирования нам понадобится комбинаций предметов.$^{10}C_{3}$

Проблема более сложная. Существует дополнительное условие, что после того, как пара предметов была протестирована вместе, чем та же пара не нуждается в повторном тестировании.

Например, однажды мы выполнили следующие три теста:

азбука

ADE

BDF

нам не нужно выполнять:

ABD

поскольку пара A, B была охвачена первым контрольным примером, A, D была покрыта вторым, а B, D - третьим.

Итак, проблема в том, какое минимальное количество тестовых случаев нам нужно, чтобы убедиться, что все пары протестированы?

В целом, если у нас есть n элементов, s можно тестировать одновременно, и нам нужно убедиться, что тестируются все возможные t-кортежи (такие, что s> t), какое минимальное количество тестовых случаев нам нужно в условия п, с и т?

И, наконец, какой будет хороший алгоритм для генерации необходимых тестовых случаев?

Проекты блоков, которые вы хотите (для тестирования 3 вещей одновременно и охвата всех пар), называются тройными системами Штейнера . Существует тройная система Штейнера с тройками всякий раз, когда mod , и известны алгоритмы их построения. Посмотрите, например, этот вопрос MathOverflow (со ссылкой на рабочий код Sage!). Для других вы можете округлить до следующего mod и использовать модификацию этой тройной системы для чтобы покрыть все пары для .$\frac{1}{3} {n \choose 2}$$n \equiv 1 \mathrm{\ or\ } 3$$6$$n$$n' \equiv 1 \mathrm{\ or\ } 3$$6$$n'$$n$

Если вы хотите получить лучшую конструкцию для других , требуемое количество троек - это покрывающее число , которое задается этой записью в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей. Это ссылка на репозиторий La Jolla Covering Repository, в котором есть репозиторий хороших покрытий. Онлайн энциклопедия целочисленных последовательностей дает предполагаемую формулу для ; если эта формула справедлива, то это интуитивно означает, что, вероятно, должны быть хорошие алгоритмические способы построения этих покрытий, но поскольку формула предположена, ясно, что в настоящее время их никто не знает.$n$ $C(n,3,2)$$C(n,3,2)$

Для больших чисел покрытия найти хорошие покрытия труднее, чем для , и хранилище даст лучшие решения, чем любые известные эффективные алгоритмы.$C(n,3,2)$

Сформируйте неориентированный граф где каждая вершина является парой элементов и где есть ребро между двумя вершинами, если они совместно используют элемент. Другими словами, где и . Граф имеет вершин, и каждая вершина имеет ребер, падающих на него.$G$$G=(V,E)$$V=\{\{a,b\} : a,b \in \text{Items} \land a\ne b\}$$E=\{(s,t) : s,t \in V \land |s\cap t|=1\}$${n \choose 2}$$2n-4$

Тогда один подход будет найти соответствие максимальной в . Алгоритм Эдмондса можно использовать для нахождения такого максимального соответствия за полиномиальное время. Если вам повезет, это даст вам идеальное соответствие, и тогда у вас все хорошо. Каждое ребро в сопоставлении соответствует тестовому примеру . Поскольку каждая вершина инцидентна с одним ребром в идеальном сопоставлении, вы покрыли все пары, используя тестовых случая, что находится в пределах коэффициента оптимального. Если вы не получили идеального соответствия, добавьте еще несколько тестовых случаев, чтобы получить полное покрытие.$G$$(\{A,B\},\{B,C\}) \in E$$A B C$${n \choose 2}/2$$1.5$

В случае и вам необходимо выполнить как минимум теста, поскольку существует пар, и каждый тест охватывает 3 пары. Это означает, что вы можете выполнять тривиальные задачи и выполнять тесты, и быть в 3 раза хуже оптимального.$s=3$$t=2$${n \choose 2}/3$${n \choose 2}$${n \choose 2}$

Если вы на самом деле программируете это, то способ оптимизировать это может быть сначала выбрать несколько числовых тестов случайным образом, а затем применить грубую силу к парам, которые до сих пор не охватывались тестом.

---

Для общих и существует нижняя граница тестов . Для верхней границы я утверждаю, что этого достаточно, чтобы сделать тесты.$s$$t$${n \choose t}/{s \choose t}$$C \cdot \frac{{n \choose t}}{s \choose t}\cdot {\log({n \choose t})} \leq O(t \cdot (\frac{n-t}{s-t})^t \log(n))$

Давайте посмотрим, что произойдет, мы выберем тесты равномерно случайным образом. Если вы случайно выберете кортеж , то для фиксированного кортежа мы получим . Поэтому, если мы выберем тестов наугад, то$s$$S \subseteq [n]$$t$$X \subseteq [n]$$\Pr[X \subset S] = \frac{{n-t \choose s-t}}{{n \choose s}}$$C \cdot {n \choose t} \cdot {\log({n \choose t})}$

$$\Pr[X \text{ does not belong to any of them}] = \left(1 - \frac{{n-t \choose s-t}}{{n \choose s}}\right)^{C \cdot {n \choose t} \cdot {\log({n \choose t})}} \leq \exp \left(-C \frac{{n-t \choose s-t}{n \choose t}}{{n \choose s}{s \choose t}} \cdot \log({n \choose t})\right) = \exp(-C \log{n \choose t})\leq 1/{n \choose t}.$$

Следовательно, по объединенной границе после случайных проверок все кортежи будут охвачены.$O(t \cdot (\frac{n-t}{s-t})^t \log(n))$$t$