Непрерывные по Скотту функции: альтернативное определение

Я действительно борюсь с этим свойством:

Пусть - пространства когерентности, а - монотонная функция. непрерывен тогда и только тогда, когда , для всех таких, что является направленным множеством.f : C l ( X ) → C l ( Y ) f f ( ⋃ x ∈ D x ) = ⋃ x ∈ D f ( x ) D ⊆ C l ( X ) $X,Y$$f: Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$$f$$f(\bigcup_{x\in D} x)=\bigcup_{x \in D}f(x)$$D \subseteq Cl(X)$$D$

Направленный набор определяется следующим образом: POSET является направленным множеством, если таких как и x' \ subseteq z . Cl (X) обозначает клику X: \ {x \ subseteq | X | \ mid a, b \ in x \ Rightarrow a связный b \} .$D \subseteq$∃ z ∈ D x ⊆ z x ′ ⊆ z C l ( X ) { x ⊆ | X | ∣ a , b ∈ x ⇒ a b $\forall x, x' \in D$ $\exists z \in D$$x \subseteq z$$x' \subseteq z$
$Cl(X)$$\{x \subseteq |X| \mid a,b \in x \Rightarrow a$$b \}$

Многие книги дают это как определение непрерывных функций Скотта , но, к несчастью, не мой учитель. Он дал нам это определение непрерывного:

$f : Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$ непрерывно, если оно монотонно и $\forall x \in Cl(X), \forall b \in f(x), \exists x_0 \subseteq_{fin} x, b \in f(x_0)$ ,
где монотонность определяется как: $f$ монотонна, если $a \subseteq b \Rightarrow f(a) \subseteq f(b)$

Это предложенное мной доказательство, но я не могу понять последнее уравнение.

Из доказательства непрерывности $f$ следует $f(\bigcup D)=\bigcup f(D)$ :
пусть $b \in f(\bigcup D)$ . По определению непрерывности $\exists x_0 \subset_{fin} x \mid b \in f(x_0)$ . Обратите внимание, что $x_0$ является объединением $\{ x_i \mid x_i \in D\}$ .
Если $D$ прямое, то: $\exists z \in D \mid x_i \subseteq z$ тогда $x_0 \subseteq z$ . По определению монотонности $f(x_0)\subseteq f(z)$ так что $b \in f(z)$ (???) $\subseteq \bigcup f(D)$ . И даже это правда, мы должны показать, что $\bigcup f(D) = f(\bigcup D)$ , а не только$\subseteq$ .

Доказательство другого следствия еще хуже, поэтому я не могу написать его здесь ... Можете ли вы объяснить мне, как доказательство может работать?

Определение преемственности, используемое вашим учителем, является более хорошим. Это довольно конкретно говорит вам, что означает преемственность.

Предположим, что . Это означает, что, учитывая всю информацию о x , возможно, о бесконечном наборе токенов (атомов), функция создает некоторый элемент, имеющий атомарный фрагмент информации b . (Он может иметь и другую информацию, но в данный момент нас это не касается.) Определение вашего учителя говорит, что нет необходимости смотреть на всю бесконечную информацию о x , чтобы получить выходную информацию b . Некоторое конечное подмножество x достаточно, чтобы произвести его.$b \in f(x)$$x$$b$$x$$b$$x$

(Книга Мелвина Фитинга «Теория вычислимости, семантика и логическое программирование», Оксфорд, 1987 г., называет это свойство компактностью и определяет непрерывную функцию как монотонную и компактную.)

Это суть преемственности. Чтобы получить некоторое конечное количество информации о выходе функции, вам нужно лишь ограниченное количество информации о входе. Выходные данные, создаваемые функцией для бесконечного входа, получают путем объединения информации, которую она производит для всех конечных приближений бесконечного входа. Другими словами, вы не получите никакого магического скачка при переходе от конечных приближений к их бесконечному объединению. Все, что вы получаете в бесконечности, вы уже должны получить в какой-то конечной стадии.

Стандартное уравнение довольно смотреть, но это не говорит вам всю интуицию я объяснил выше. Однако математически это эквивалентно определению вашего учителя.$f(\bigcup_{x \in D} x) = \bigcup_{x \in D} f(x)$

Для того, чтобы показать , что , достаточно показать , что ф ( х ) входит в F ( ⋃ х ∈ D х ) для каждого х ∈ D . Но это непосредственно следует из монотонности F , так как х ⊆ ⋃ х ∈ D х . Итак, это «легкое» направление.$\bigcup_{x \in D} f(x) \subseteq f(\bigcup_{x \in D} x)$$f(x)$$f(\bigcup_{x \in D} x)$$x \in D$$f$$x \subseteq \bigcup_{x \in D} x$

Другое направление, доказанное вашим учителем, является интересным: . Чтобы увидеть это, используйте интуицию, которую я упомянул выше. Любая атомарная часть информации b в левой части исходит из некоторого конечного приближения ввода: x 0 ⊆ f i n ⋃ x ∈ D x . То есть b ∈ f ( x 0 ) . С х $f(\bigcup_{x \in D} x) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$$x_0 \subseteq_{fin} \bigcup_{x \in D} x$$b \in f(x_0)$$x_0$является конечным и включается в объединение направленного множества, в направленном множестве должно быть что-то большее, чем , возможно, само x 0 . Назовите этот элемент z . По монотонности f ( x 0 ) ⊆ f ( z ) . Итак, b ∈ f ( z ) . Так как г ∈ D , F ( г ) ⊆ ⋃ х ∈ D F ( х ) . Итак, теперь $x_0$$x_0$$z$$f(x_0) \subseteq f(z)$$b \in f(z)$$z \in D$$f(z) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$Видно, что и с правой стороны. QED.

Как вы заметили, показать, что преемственность вашего учителя подразумевает, что уравнение довольно просто. Сложнее всего показать, что красивое уравнение, несмотря на то, что оно выглядит не слишком много, на самом деле говорит все в определении вашего учителя.

После того, как я написал последний ответ, мне пришло в голову, что учительское определение непрерывности, которое я объяснял в своем ответе, является топологическим понятием непрерывности. Алгебраическая формулировка непрерывности , что, как правило , упоминаются в учебниках Computer Science скрывает все топологическую интуицию. (Фактически, Дана Скотт часто писала, что он сознательно избегал топологических формулировок, потому что Компьютерные Ученые не знакомы с этим.)

Связь между алгебраическими и топологическими формулировками называется каменной двойственностью , и теперь становится все более очевидным, что сама эта связь чрезвычайно важна для информатики.

Концептуальное изложение этих связей (и многое другое) см. В информации Абрамского , процессах и играх .