Нахождение максимальной факторизации регулярных языков

Пусть язык $\mathcal{L} \subseteq \Sigma^*$ регулярный.

Факторизация $\mathcal{L}$ - это максимальная пара $(X,Y)$ наборов слов с

• $X \cdot Y \subseteq \mathcal{L}$
• $X \neq \emptyset \neq Y$ ,

где $X \cdot Y = \{xy$ | $x \in X, y \in Y\}$ .

$(X,Y)$$(X',Y') \neq (X,Y)$$X'\cdot Y' \subseteq \mathcal{L}$$X \not \subseteq X'$$Y \not \subseteq Y'$

Есть ли простая процедура, чтобы узнать, какие пары максимальны?

Пример:

Пусть $\mathcal{L} = \Sigma^∗ab \Sigma^∗$ . Множество $F = \{u, v, w\}$ вычисляется:

• $u =(\Sigma^∗, \Sigma^∗ab\Sigma^∗)$

• $v = (\Sigma^∗a\Sigma^∗, \Sigma^∗b\Sigma^∗)$

• $w = (\Sigma^∗ab\Sigma^∗, \Sigma^∗)$

где $\Sigma = \{a,b\}$ .

Другой пример:

Σ = { a , b } L = Σ ∗ a Σ F = { q , r , s , t $\Sigma = \{a, b\}$ и Factorization set с$\mathcal{L} = \Sigma^*a\Sigma$$F = \{q, r, s, t\}$

• $q = (\Sigma^*, \mathcal{L})$

• $r = (\Sigma^*a, \Sigma + \mathcal{L})$

• $s = (\Sigma^*aa, \epsilon + \Sigma + \mathcal{L})$

• $t = (\mathcal{L}, \epsilon + \mathcal{L})$

Как предлагается в комментариях к вопросу, я постараюсь дать (к сожалению, частичный) ответ на вопрос, по крайней мере, в той степени, в которой я сам понял проблему (это подразумевает, что вы вполне можете найти ошибки, и если вы найдете способ более кратко или ясно объяснить один из следующих пунктов, не стесняйтесь редактировать ответ соответственно):

Во-первых, следует отметить, что на самом деле нам не нужно вычислять универсальный автомат языка, если мы хотим вычислить факторизации языка.

Из статьи, упомянутой в моем комментарии ¹, есть соответствие 1-1 между левым и правым факторами обычного языка, то есть, учитывая левый фактор языка, соответствующий правый фактор определяется однозначно, и наоборот. Точнее, имеем следующее:

Пусть ( X , Y ) является факторизация L . Тогда Y = ⋂ x ∈ X x - 1 L , X = ⋂ y ∈ Y L y - 1 , то есть любой левый фактор является пересечением правых отношений, а любой правый фактор - пересечением левых отношений. И наоборот, любое пересечение левых частного L является правым фактором L , и любое пересечение правого частного L является левым фактором L .$(X,Y)$$L$

Обратите внимание, что для обычного языка существует только конечный набор левого и правого факторов, и, следовательно, или проблема сводится к вычислению левого и правого факторов языка, а затем к вычислению их ∩- стабильного замыкания, то есть минимального надмножество частных, замкнутое при пересечении. Они тогда точно правые и левые факторы факторы, а затем, как правило , легко увидеть , какие пары являются подмножества L .$\cap$$L$

пример

Чтобы проиллюстрировать вышеуказанные моменты, рассмотрим первый пример в вопросе (о котором я также думаю, что он неверен в статье):

Пусть L = Σ ∗ a b Σ ∗ . Теперь, левый факторгруппы L являются множества х - 1 л для х ∈ Е * , то есть те слова U в Е * , что может быть с префиксом х , т.е. х у ∈ L . Когда y - 1 L = x - 1 L для различных x , y ? Это имеет место тогда и только тогда, когда $L = \Sigma^\ast ab \Sigma^\ast$$L$$x^{-1}L$$x\in \Sigma^\ast$$u$$\Sigma^\ast$$x$$xu \in L$$y^{-1}L=x^{-1}L$$x,y$$x$и y можно дополнить словами в L с точно такими же суффиксами. Это означает, что, если говорить более привычно, они эквивалентны Nerode, а суффиксы, необходимые для добавления слов в класс Nerode, являются именно соответствующими левыми частными.$y$$L$

Для L мы видим, что наши классы Nerode-эквивалентности$L$

• N 1 , набор слов, не содержащий a b как фактор и заканчивающийся на a , $N_1$$ab$$a$
• N 2 - набор слов, оканчивающийся на b и не содержащий a b как фактор, и $N_2$$b$$ab$
• N 3 , набор слов, содержащий a b как фактор, то есть N 3 = $N_3$$ab$$N_3 = L$

Они могут быть дополнены следующими наборами (то есть, это левые коэффициенты слов в соответствующих классах):

• S 1 = x - 1 L для x в N 1 состоит из всех слов в L (любое слово может быть дополнено словом, содержащим a b в качестве фактора и, таким образом, становится словом в L ) и b Σ ∗ , то есть S 1 = L ∪ b Σ $S_1 = x^{-1}L$$x$$N_1$$L$$ab$$L$$b\Sigma^\ast$$S_1 = L \cup b\Sigma^\ast$
• S 2 = x - 1 L для x в N 2 - это сам язык, то есть S 2 = L и$S_2 = x^{-1}L$$x$$N_2$$S_2 = L$
• S 3 = x - 1 L для x в N 3 , очевидно, Σ ∗ . То есть, мы нашли три правильных факторы L . Поскольку S 2 ⊂ S 1 ⊂ S 3 , их ∩- стабильное замыкание тривиально S 1 , S 2 , S 3 , и тогда они являются точно правильными факторами.$S_3 = x^{-1}L$$x$$N_3$$\Sigma^\ast$$L$$S_2\subset S_1\subset S_3$$\cap$${S_1,S_2,S_3}$

Следовательно, наш набор факторизации F L имеет вид ( P 1 , S 1 ) , ( P 2 , S 2 ) , ( P 3 , S 3 ) .$\mathcal{F}_L$$(P_1,S_1),(P_2,S_2),(P_3,S_3)$

Теперь для левых факторов P i используем уравнения начала этого ответа:$P_i$

P i = ⋂ x ∈ S i L x - 1 .

Для Р 1 , это дает L ∪ Е * , для P 2 мы получаем Е * и P 3 , получаем L . Вы можете убедиться в этом по проверке (наиболее популярное оправдание за то, что слишком ленив, чтобы сформулировать формальное доказательство) или по явному вычислению правильных отношений (что довольно аналогично, хотя и не полностью, вычислению левых отношений). Таким образом, наши факторизации определяются как F L = u , v , w, где$P_1$$L \cup \Sigma^\ast a$$P_2$$\Sigma^\ast$$P_3$$L$$\mathcal{F}_L = {u,v,w}$

• $u = (P_1,S_1) = (\Sigma^\ast ab \Sigma^\ast \cup \Sigma^\ast a, \Sigma^\ast ab \Sigma^\ast \cup b\Sigma^\ast)$
• v = ( P 2 , S 2 ) = ( Σ ∗ , Σ ∗ a b Σ ∗ ) и$v = (P_2, S_2) = (\Sigma^\ast, \Sigma^\ast ab \Sigma^\ast)$
• $w = (P_3, S_3) = (\Sigma^\ast ab \Sigma^\ast, \Sigma^\ast)$

Резюме

Подводя итог (как вы просили для простой процедуры):

• Для вычисления факторизации языка L , сначала вычислить левую факторизацию L .$L$$L$
• Вы можете сделать это на языке статьи, построив минимальный DFA A для L, а затем для каждого состояния q в A (соответствующего, как класс эквивалентности Nerode, левому частному) вычислить будущее q в A получая, таким образом, один левый коэффициент языка для каждого состояния.$A$$L$$q$$A$$q$$A$
• Полученный таким образом набор левых отношений дает, как правило, подмножество S R правых факторов.$S_R$
• Вычислительное то ∩ -stable замыкания S R , который может быть реализован на практике путем формирования пересечения любого подмножества S R и добавления какого - либо подмножества , полученное таким образом , к S R .$\cap$$S_R$$S_R$$S_R$
• Множество S R вместе со всеми пересечениями из предыдущего шага , то множество правых факторов L .$S_R$$L$
• Для того , чтобы получить левые факторы, мы можем вычислить правильную факторизацию L .$L$
• Это множества вида L y - 1 для y ∈ Σ ∗ . Теперь их снова только конечное число, и для x ≠ y мы имеем L y - 1 = L x - 1 тогда и только тогда, когда для всех u ∈ Σ ∗ , u x ∈ L ⇔ u y ∈ L , то есть они может иметь префикс к словам в языке с точно таким же набором строк.$Ly^{-1}$$y\in \Sigma^\ast$$x\neq y$$Ly^{-1} = Lx^{-1}$$u\in \Sigma^\ast$$ux \in L \Leftrightarrow uy \in L$
• Чтобы вычислить L x - 1 , рассмотрим те состояния q в A , что x содержится в будущем q . Союз прошлого тех государств составляет один правильный коэффициент. Найдите все эти коэффициенты.$Lx^{-1}$$q$$A$$x$$q$
• Вы знаете, что вы сделали, когда вы нашли столько левых факторов, сколько у вас есть правильных факторов.
• Найти такие пары левого и правого факторов X , Y такое , что X ⋅ Y ⊆ L . Это F L .$X,Y$$X\cdot Y \subseteq L$$\mathcal{F}_L$

1. Универсальный автомат Ломбардии и Сакаровича (в « Текстах в логике и играх», том 2: Логика и автоматы: история и перспективы , 2007)