Резкая концентрация для выбора с помощью случайного разделения?

Обычный простой алгоритм для нахождения медианного элемента в массиве из чисел: $A$ $n$

Пример элементов из с заменой на $n^{3/4}$ $A$ $B$
Сортируйте и найдите элементы ранга и из $B$ $|B|\pm \sqrt{n}$ $l$ $r$ $B$
Убедитесь , что и находятся на противоположных сторонах средней части и что существует не более элементами в между и для некоторых соответствующих постоянная . Сбой, если этого не произойдет. $l$ $r$ $A$ $C\sqrt{n}$ $A$ $l$ $r$ $C > 0$
В противном случае найдите медиану, отсортировав элементы $A$ между $l$ и $r$

Нетрудно видеть, что это происходит за линейное время и что это происходит с большой вероятностью. (Все плохие события - большие отклонения от ожидания бинома.)

Альтернативный алгоритм для той же задачи, который более естественно преподавать учащимся, которые видели быструю сортировку, описан здесь: Рандомизированный отбор

Также легко увидеть, что у этого есть линейное ожидаемое время выполнения: скажем, что «раунд» - это последовательность рекурсивных вызовов, которая заканчивается, когда кто-то дает разбиение 1 / 4-3 / 4, а затем наблюдаем, что ожидаемая длина раунд не более 2. (В первом тираже раунда вероятность получения хорошего разделения равна 1/2, а затем после фактического увеличения, как было описано в алгоритме, поэтому в длине раунда преобладает геометрическая случайная величина.)

Итак, теперь вопрос:

Можно ли показать, что рандомизированный отбор проходит в линейное время с высокой вероятностью?

У нас есть раундов, и каждый раунд имеет длину не менее с вероятностью не более , поэтому при объединении получается, что время выполнения равно с вероятностью . $O(\log n)$ $k$ $2^{-k+1}$ $O(n\log\log n)$ $1-1/O(\log n)$

Это отчасти неудовлетворительно, но на самом ли деле это правда?

algorithms algorithm-analysis randomized-algorithms

— Луис
источник

Пожалуйста, уточните, к какому алгоритму относятся ваши вопросы.

— Рафаэль

Вы спрашиваете, правильно ли вы применили свою профсоюзную границу или есть ли лучшая, более удовлетворительная граница?

— Джо

@Joe Последний. Дело в том, что раунды являются артефактом, чтобы получить, что длина раунда преобладает над геометрической. Затем анализатор «забывает», находится ли алгоритм впереди или позади алгоритма, который всегда получает 1 / 4-3 / 4 раскол на носу, чтобы сделать геометрию независимой. Я спрашиваю, является ли этот "обман", как Ювал выразил это, все еще жестким.

— Луи

Это неправда, что алгоритм работает в линейное время с высокой вероятностью. Принимая во внимание только первый раунд, время работы составляет не менее раз в случайная величина. Пусть - допустимая вероятность отказа. Так как , время работы, по крайней мере $\Theta(n)$ $G(1/2)$ $p(n) \longrightarrow 0$ $\Pr[G(1/2) \geq \log_2 p(n)^{-1}] = p(n)$ $\Omega(n \log_2 p(n)^{-1}) = \omega(n)$

$G(1/2)$

$n$

— Юваль Фильмус
источник

C > 0

$C>0$

C

$C$

> 0

$>0$

C

$C$

C n

$Cn$

p_{C} > 0

$p_C > 0$

Я счастливее, так как круглая длина не намного меньше , чем геометрические используются для верхней границы. Я думаю , это то , что G & R делает rigerous. Хороший ответ.

— Луис