Как доказать, что язык является регулярным?

Есть много способов доказать, что язык не является регулярным , но что мне нужно сделать, чтобы доказать, что какой-то язык является регулярным?

Например, если мне дано, что регулярно, как я могу доказать, что следующее регулярно?$L$$L'$

$\qquad \displaystyle L' := \{w \in L: uv = w \text{ for } u \in \Sigma^* \setminus L \text{ and } v \in \Sigma^+ \}$

Могу ли я нарисовать недетерминированный конечный автомат, чтобы доказать это?

Да, если вы можете придумать любое из следующего:

• детерминированный конечный автомат (DFA),
• недетерминированный конечный автомат (NFA),
• регулярное выражение (регулярное выражение формальных языков) или
• обычная грамматика

для некоторого языка тогда регулярно. Есть более эквивалентные модели , но вышеупомянутые являются наиболее распространенными.$L$$L$

Есть также полезные свойства за пределами «вычислительного» мира. также регулярно, если$L$

• это конечно,

• Вы можете создать его, выполнив определенные операции на обычных языках, и эти операции закрыты для обычных языков , таких как

  • пересечение,
  • дополнение,
  • гомоморфизм,
  • реверс,
  • отношение слева или справа,
  • регулярная трансдукция

  и более , или

• используя теорему Майхилла – Нерода, если число классов эквивалентности для конечно.$L$

В данном примере у нас есть некоторый (обычный) язык качестве основы и мы хотим сказать что-то о языке полученном из него. Следуя первому подходу - построить подходящую модель для - мы можем принять любую эквивалентную модель для мы так желаем; конечно, оно останется абстрактным, поскольку неизвестно. Во втором подходе мы можем напрямую использовать и применить к нему свойства замыкания, чтобы получить описание для .L ′ L ′ L L L L $L$$L'$$L'$$L$$L$$L$$L'$

Элементарные методы

1. Конечные автоматы (возможно, недетерминированные, с пустыми переходами).
2. Обычные выражения.
3. Правые (или левые, но не оба) линейные уравнения, такие как где и регулярные.K $X = KX + L$$K$$L$
4. Обычная (тип 3) грамматика.
5. Операции, сохраняющие обычные языки (булевы операции, произведение, звезда, случайное перемешивание, морфизмы, инверсии морфизмов, обращение и т. Д.)
6. Распознается конечным моноидом.

Логические методы (часто используемые при формальной проверке)

1. Монадическая логика второго порядка (теорема Бучи).
2. Линейная временная логика (теорема Кэмпа).
3. Теорема Рабина о дереве (монадическая логика второго порядка с двумя преемниками). Очень могущественный.

Продвинутые методы

1. Сложные насосные леммы. См., Например,
   [1] Дж. Джаффе. Необходимая и достаточная лемма прокачки для обычных языков, Sigact News - SIGACT 10 (1978) 48-49.
   [2] A. Ehrenfeucht, R. Parikh, G. Rozenberg, Леммы накачки для регулярных множеств, SIAM J. Comput. 10 (1981), 536-541.
   [3] S. Varricchio, Условия накачки для регулярных множеств, SIAM J. Comput. 26 (1997) 764-771.

2. Ну квази-заказы. См.
   [4] W. Bucher, A. Ehrenfeucht, D. Haussler, Об общих регуляторах, порожденных деривационными соотношениями, Theor. Вычи. Sci. 40 (1985) 131–148.
   [5] М. Кунц. Регулярные решения языковых неравенств и квазипорядков скважин .

3. Поддержка -рациональных рядов.$\mathbb{N}$

4. Алгебраические методы, основанные на преобразованиях (см. Также Операции, сохраняющие обычные языки ).

Ответ Ранга Г. дает довольно обширный список эквивалентных моделей, которые можно использовать для определения обычных языков (и этот список можно продолжить, двусторонние автоматы, логика MSO, но это описано в разделе «более эквивалентные модели»). «). И, как подчеркивает Рафаэль, нам нужен аргумент, чтобы убедить аудиторию в том, что выбранное представление действительно правильно.

Пересматривая вопрос, он добавляет «Например, ». Это означает, что мы должны дать правильную конструкцию, которая, учитывая любую из вышеупомянутых моделей, которые мы предполагаем, задают язык , превращает эту модель в модель для . Как правило, это будет модель того же типа, но не обязательно: например, мы можем начать с детерминированного FSA для и закончить недетерминированным для .L L ′ L L $\dots$$L$$L'$$L$$L'$

Это включает возможность использовать операции замыкания: в явно заданной операции в примере мы имеем .$L'= (\Sigma^* \setminus L) \cdot \Sigma^*$

Итак, моя точка зрения такова, что ответ отличный, но мы должны добавить «от к конструкции, когда не строим определенный язык с нуля.L $L$$L'$

$s$$k$$s$<some property>$k$$k$

$$L_1 \mathop{S} L_2 = \{ x_1y_1 \ldots x_n y_n \in \Sigma^* : x_1 \ldots x_n \in L_1, y_1 \ldots y_n \in L_2 \}$$ $A_i = \langle \Sigma, Q_i, F_i, \delta_i, q_{0i} \rangle$$L_i$$i=1,2$$\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$

• $Q_1 \times Q_2 \times \{1,2\}$$x_i$$y_i$
• $q_0 = \langle q_{01}, q_{02}, 1 \rangle$
• $F = F_1 \times F_2 \times \{1\}$
• $\delta(\langle q_1, q_2, 1 \rangle, \sigma) = \langle \delta_1(q_1,\sigma), q_2, 2 \rangle$$\delta(\langle q_1, q_2, 2 \rangle, \sigma) = \langle q_1, \delta_2(q_2,\sigma), 1 \rangle$

---

$$L^R = \{ w^R : w \in \Sigma^* \}.$$ $(w_1\ldots w_n)^R = w_n \ldots w_1$$L$$\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$$\langle \Sigma, Q', F', \delta', q'_0 \rangle$

• $Q' = Q \cup \{q'_0\}$
• $q'_0$
• $q_0$
• $\delta'(q'_0,\epsilon) = F$$q \in Q$$\sigma \in \Sigma$$\delta(q', \sigma) = \{ q : \delta(q,\sigma) = q' \}$

$q'_0$

---

$$R(L) = \{ yx \in \Sigma^* : xy \in L \}.$$ $L$$\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$$\langle \Sigma, Q', F', \delta', q'_0 \rangle$$q=\delta(q_0,x)$$\delta(q,y) \in F$$\delta(q_0,x) = q$$y$$x$

• $Q' = \{q'_0\} \cup Q \times Q \times \{1,2\}$$q'_0$$\langle q,q_{curr}, s \rangle$$q$$q_{curr}$$s$$y$$x$
• $F' = \{\langle q,q,2 \rangle : q \in Q\}$$\delta(q_0,x)=q$
• $\delta'(q'_0,\epsilon) = \{\langle q,q,1 \rangle : q \in Q\}$$q$
• $\delta'(\langle q,q_{curr},s \rangle, \sigma) = \langle q,\delta(q_{curr},\sigma),s \rangle$$q,q_{curr} \in Q$$s \in \{1,2\}$
• $\delta'(\langle q,q_f,1 \rangle, \epsilon) = \langle q,q_0,2 \rangle$$q \in Q$$q_f \in F$$y$$x$$y$

---

$$E_k(L) = \{ x \in \Sigma^* : \text{ there exists $y \in L$ whose edit distance from $x$ is at most $k$} \}.$$ $\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$$L$$\langle \Sigma, Q', F', \delta', q'_0 \rangle$$E_k(L)$

• $Q' = Q \times \{0,\ldots,k\}$
• $q'_0 = \langle q_0,0 \rangle$
• $F' = F \times \{0,\ldots,k\}$
• $q,\sigma,i$$\langle \delta(q,\sigma), i \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \sigma)$
• $\langle q,i+1 \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \sigma)$$q,\sigma,i$$i < k$
• $\langle \delta(q,\sigma), i+1 \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \epsilon)$$q,\sigma,i$$i < k$
• $\langle \delta(q,\sigma), i+1 \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \tau)$$q,\sigma,\tau,i$$i < k$

Язык является обычным, если вы можете написать сканер, который определяет произвольные строки независимо от того, принадлежат ли они языку или нет, используя не более фиксированного объема памяти - т.е. распознавание может быть выполнено в пространстве O (1) .

Преобразование регулярных выражений является одним из способов доказать замыкание при определенных операциях. Двумя простейшими примерами являются замыкание при обращении и замыкание при гомоморфизме .

$r$$L$$L^R$$L$

• $\epsilon^R = \epsilon$$\sigma^R = \sigma$$\emptyset^R = \emptyset$
• $(r_1+r_2)^R = (r_1^R + r_2^R)$$(r^*)^R = (r^R)^*$$(r_1r_2)^R = r_2^R r_1^R$

$(r_1r_2)^R = r_2^R r_1^R$$(0^*1^*)^R = 1^*0^*$$r^R$$L^R$

$h\colon \Sigma \to \Delta^*$$r$$L$$h(L)$$\sigma$$r$$h(\sigma)$

Другой способ - создать язык, используя операции, под которыми вы знаете, что они закрыты. Это расширение для выставления регулярного выражения, поскольку у вас есть гораздо больше доступных операций (перевернуть строку, дополнить, пересечь, вырезать кусок, просто сохранить часть, гомоморфизмы и обратные гомоморфизмы, ...)