Как доказать, что обычные языки закрыты под левым частным?

$L$ - обычный язык над алфавитом . Левый фактор относительно - это язык $\Sigma = \{a,b\}$$L$$w \in \Sigma^*$

Как я могу доказать, что регулярно?$w^{-1}L$

Пусть представляет собой детерминированный конечный автомат принимает . Введите слово в , что приведет вас в состояние$M$$L$$w$$M$$q$ . Построить новую машину которая аналогична M, но имеет начальное состояние q . Я утверждаю, что M ′ принимает w - 1 л .$M'$$M$$q$$M'$$w^{-1}L$

Теперь докажи это.

Очень короткий аргумент приводит к известной теореме MyHill и Nerode, которая говорит, что язык является регулярным именно тогда, когда он имеет конечное число факторов. Таким образом, для и L ⊆ X ∗ имеем u - 1 ( w - 1 L ) = ( w u ) - 1 L , следовательно, у нас меньше коэффициентов для w - 1 L, чем для L , в частности, если L просто имеет конечное число факторов, для w - $w \in X^{\ast}$$L \subseteq X^{\ast}$$u^{-1}(w^{-1}L) = (wu)^{-1}L$$w^{-1}L$$L$$L$ нас тоже просто конечное число.$w^{-1}L$