Почему релятивизация является барьером?

Когда я объяснял доказательство Бейкера-Гилла-Соловая, что существует оракул, с которым мы можем иметь, , и оракул, с помощью которого мы можем иметь P ≠ N P другу, возник вопрос, почему такие методы плохо подходят для доказательства проблемы P ≠ N P , и я не мог дать удовлетворительный ответ.$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Говоря более конкретно, если у меня есть подход к доказательству и если я могу построить оракулы, чтобы создать ситуацию, подобную описанной выше, почему это делает мой метод недействительным?$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Есть ли какие-нибудь экспозиции / мысли на эту тему?

Говоря более конкретно, если у меня есть подход к доказательству P ≠ NP и если я могу построить оракулы, чтобы создать ситуацию, подобную описанной выше, почему это делает мой метод недействительным?

Обратите внимание, что последнее «если» не является условием, потому что Бейкер, Гилл и Соловей уже создали такого оракула. Это просто математическая истина, что (1) существует оракул, относительно которого P = NP, и что (2) существует оракул, относительно которого P ≠ NP.

Это означает, что если у вас есть подход к доказательству P ≠ NP и одно и то же доказательство в равной степени докажет более сильный результат «P ^A ≠ NP ^A для всех оракулов A », то ваш подход обречен на провал, поскольку он противоречит (1).

Другими словами, существует некоторая принципиальная разница между доказательством P ≠ NP и доказательством, например теоремой иерархии времени, потому что доказательство последнего просто использует диагонализацию и в равной степени применимо к любому релятивизированному миру.

Разумеется, это не означает, что доказательств для P ≠ NP нет. Такое доказательство (если оно существует) не должно доказывать более сильный результат, упомянутый выше. Другими словами, некоторая часть доказательства должна отличать нерелятивизирующий мир от произвольных релятивизированных миров.

Уже есть хорошие ответы, но я хотел бы добавить несколько небольших моментов.

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Прежде чем идти дальше, обратите внимание, что техника типа диагонализации здесь не является формальной концепцией (хотя мы можем сделать это так). Более того, тот факт, что метод не может решить проблему сам по себе, не означает, что он вообще не полезен в решении проблемы, мы могли бы изменить его и / или объединить с другими методами для решения проблемы.

$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP^A}$$\mathsf{P^A}$$A$$\mathsf{PSpace}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Существенным моментом в этом аргументе является своего рода принцип передачи :

мы можем передать аргумент диагонализации для ТМ без оракула ТМ с оракулом.

Это возможно здесь, потому что аргументы диагонализации основаны на моделировании машин, более того, моделирование не зависит от внутренних элементов машин, а только от окончательных ответов от этих симуляций. Этот вид диагонализации называется простой диагонализацией . При моделировании не имеет значения, как работает машина, нам важен только окончательный ответ машины. Добавление оракула не изменит этого, поэтому симуляция и аргумент будут работать также в рамках, где у нас есть оракулы.

$\mathsf{P}$$SAT$$SAT$

$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

$M$$M$$M$$M$быть этим примером. Это общий вид, если вы хотите увидеть подробности, проверьте документ Козена.

Summery:

• $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$
• $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$
• Причина, по которой этот переход от платформы без оракула к среде с оракулами работает, заключается в том, что простая диагонализация основана на моделировании ТМ черного ящика, и не имеет значения, как работает машина, имеет ли она оракула или нет.

Две хорошие статьи, чтобы узнать больше о диагонализации:

• Обзорная работа Ланса Фортнау "Диагонализация", 2001, и
• Статья Рассела Импальяццо, Валентина Кабанца и Антонины Колоколовой «Аксиоматический подход к алгебризации», 2009. (Обратите внимание, что алгебраизация является продолжением простой диагонализации .)

$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{A} \neq \mathrm{B}$$\mathrm{A} = \mathrm{B}$$\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} \neq \mathrm{B}^\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} = \mathrm{B}^\mathrm{O}$$P = NP$$P \neq NP$

Почему это проблема? Когда появилось это доказательство, большинство техник и приемов, которые мы знали, чтобы разделить или свернуть классы сложности, «релятивизировались» в том смысле, что они работают по отношению к любому оракулу. Например, теорема о временной иерархии (а также ее пространственная и недетерминированная версии) «релятивизируются»: они доказывают разделение для классов, для которых это разделение релятивизируется, и фактически они доказывают более сильный результат, который имеет место в отношении любой оракул.

$P = NP$$P \neq NP$$P \neq NP$$\mathrm{PSPACE}$