В DFA каждый штат имеет переход по каждому символу алфавита?

Если нет, то что это значит, когда для некоторого состояния и некоторого символа , не существует?$q$δ ( q , a $a$$\delta(q, a)$

Вы, кажется, наткнулись на спорный вопрос. Видимо, ученые-компьютерщики любят спорить. Я, конечно, люблю спорить, так что здесь идет!

Мой ответ однозначен: нет. Детерминированные конечные автоматы не нуждаются в переходе из каждого состояния для каждого символа. Смысл в том, что не существует, просто означает, что DFA не принимает входную строку.$\delta(q,a)$

Хотя вы можете создать определение DFA, которое требует, чтобы существовал, просто не тот случай, когда пропущенный переход делает результирующую структуру (как бы вы ее ни называли) каким-либо образом недетерминированной, как многие комментаторы утверждают. Если вы проходите курс по теории автоматов, то следующей темой будут языки без контекста и автоматы с выпадающим меню, где различие между недетерминированными и детерминированными автоматами является критическим, и вам нужно использовать правильное определение недетерминизма.$\delta(q,a)$

Недетерминизм связан с наличием более одного правового перехода.

Я думаю, что мы все согласны со следующим определением Википедии (которое я покажу через секунду, немного двусмысленно):

Детерминированный конечный автомат является 5-кортежем ( , , , , ), состоящим из$M$$Q$$\Sigma$$\delta$$q_0$$F$

1. конечное множество состояний ( )$Q$
2. конечный набор входных символов, называемых алфавитом ( )$\Sigma$
3. функция перехода ( )$\delta : Q \times \Sigma \rightarrow Q$
4. начальное состояние ($q_0 \in Q)$
5. набор принимающих состояний ( ).$F \subseteq Q$

Пусть - строка над алфавитом . Автомат принимает строку если в существует последовательность состояний со следующими условиями:$w = a_1 a_2 \cdots a_n$$\Sigma$$M$$w$$r_0, r_1, \ldots, r_n$$Q$

1. $r_0 = q_0$
2. $r_{i+1} = \delta(r_i, a_{i+1})$ , для$i = 0, \ldots, n−1$
3. $r_n \in F$ .

Неоднозначность и противоречие связаны с определением функции перехода, (число «3» в первом маркированном списке.) Мы все согласны с тем, что отличие DFA от NFA заключается в том, что является функцией, а не отношение . Но частичная функция или полная функция ?$\delta$δ δ$\delta$$\delta$

Определение DFA прекрасно работает, если является частичной функцией. При заданной входной строке, если вы достигнете состояния с входным символом где следующего состояния нет, автомат просто не примет.$\delta$$q_i$$a_j$

Более того, когда вы расширяете это определение для создания определения автоматов с опрокидыванием, вы должны будете различать, что автоматы с опусканием с переходными функциями, которые являются частичными функциями, классифицируются как детерминированные, а не недетерминированные.

Если частичная функция вас беспокоит, то здесь есть тривиальное преобразование, которое делает полной функцией. (Это преобразование не похоже на алгоритм построения подмножества, оно добавляет не более O (1) состояний, является линейным по исходному числу состояний и может быть расширено для работы с КПК. Ни один из этих фактов не относится к алгоритму построения подмножества .)$\delta$

1. добавить состояние$q_{\mathrm{error}}$
2. для каждой пары где не определена, определите .$(q_i, s_j)$$\delta$$\delta(q_i, s_j) = q_{\mathrm{error}}$

У этого автомата есть , являющаяся общей функцией, которая принимает и отклоняет точно такой же набор состояний, что ваш исходный автомат принял и отклонил.$\delta$

Редакция, январь 2019 г.

Комментатор @Alex Smart справедливо критикует меня за то, что я не даю ссылок и не объясняю, почему мы должны заботиться. Итак, здесь идет:

Причина, по которой мы заботимся о точном определении детерминизма по сравнению с недетерминизмом, заключается в том, что некоторые классы недетерминированных автоматов более мощные, чем их детерминированные кузены, а некоторые классы недетерминированных автоматов не более мощные, чем их детерминированные кузены. Для конечных автоматов и машин Тьюринга детерминированные и недетерминированные варианты имеют одинаковую степень. Для автоматов pushdown существуют языки, в которых важно это различие: есть NPDA, которые принимают язык, и ни один DPDA не принимает язык. Для линейных ограниченных автоматов вопрос является (или был проверен в последний раз) открытым. Увеличение мощности NPDA по сравнению с DPDA происходит благодаря разрешению нескольких переходы, а не от превращения функции перехода от полной функции к частичной функции.

Книги от сообщества компиляторов:

Ахо и Уллман, Принципы разработки компиляторов , 1977: сначала определяет NFA (стр. 88) с помощью отношения перехода, затем (стр. 90-91):

Мы говорим, что конечный автомат является детерминированным, если 1. Он не имеет переходов на входе . 2. Для каждого состояния и входного символа существует не более одного ребра, помеченного выходящий .$\epsilon$$s$s$a$$a$$s$

Aho, Sethi, и Ullman, составители, принципы, методы и инструменты , переиздание 1988 года, похожи, сначала они определяют NFA с переходным отношением, затем (стр. 115-116):

Детерминированные конечные автоматы (DFA, для краткости) представляет собой частный случай недетерминистическую finitie автомата , в котором ... есть более одного ребра помечена оставляя .$a$$s$

(Обратите внимание, что в комментариях @Alex Smart говорится: «Дракон особо упоминает, что функция является полной». Я предполагаю, что он говорит о более позднем издании с соавтором Лэмом, к которому у меня нет доступа в данный момент. )

Аппель, Современная реализация компилятора в Java , 1988 (стр. 22):

В детерминированном конечном автомате (DFA) никакие два ребра, выходящие из одного и того же состояния, не помечены одинаковым символом.

Далее Аппель объясняет, что при использовании DFA для распознавания самых длинных совпадений мы явно используем отсутствующие переходы, чтобы решить, когда остановиться (стр. 23):

когда достигается мертвое состояние (не конечное состояние без выходных переходов), переменные [которые записывают самое длинное совпадение, которое мы видели до сих пор], сообщают, какой токен был найден и где он закончился.

Книги от сообщества теории переключения:

Кохави, Теория коммутации и конечных автоматов, 2 / е , 1978, с. 611 говорит:

Поскольку диаграмма состояний описывает детерминированный механизм, следующий переход состояния должен определяться однозначно текущим состоянием и текущим сканированным входным символом.

Как правило, я бы однозначно истолковал значение «ровно один», а не «не более одного». (То есть, кажется, Кохави говорит, что детерминизм требует полной функции)

Книги из сообщества теоретиков вычислений:

Здесь представляется более распространенным определить DFA перед NFA и требовать, чтобы DFA имели общую функцию перехода, но затем определить NPDA перед DPDA и определить «детерминизм» как ограничение отношения перехода к наличию не более чем одна запись для каждой пары состояние / символ.

Это справедливо в отношении Хопкрофта и Уллмана, 1979 г., Льюиса и Пападимитриу, 1981 г., и, особенно, Сипсера, 2006 г., который педагогически использует определение DFA для точного формального определения, объясняет их важность и прямо говорит (с.36):

$\delta$

$s\times\Sigma$

Интересно, что Рабин и Скотт также определяют недетерминированные конечные автоматы в терминах полной функции! Страница 120, определение 9:

$M$$S\times\Sigma$$S$

То есть: общая функция перехода не делает систему детерминированной!

Sipser 2006 следует за Рабином и Скоттом и использует полную функцию перехода от состояний / символов к степенному набору состояний для своих определений недетерминированных конечных автоматов, недетерминированных КПК и недетерминированных машин Тьюринга, но пропускает тему детерминированных PDA.

И Хопкрофт, и Уллман, 1979, и Льюис и Пападимитриу, 1981, используют частичные функции в своих определениях детерминированных КПК. Сначала они определяют NPDA с переходным отношением, а затем, когда они попадают в КПК, Льюис и Пападимитриу говорят (с. 135),

Интуитивно понятный автомат с нажатием кнопки является детерминированным , если к каждой конфигурации применимо не более одного перехода.

В то время как Хопкрофт и Ульман говорят (с. 112):

КПК ... является детерминированным в том смысле, что с любого идентификатора возможен максимум один ход.

$\delta(q,a)$$q \in Q$$a\in \Sigma$$Q$$\Sigma$

$\varepsilon$

С точки зрения вычислимости NFA эквивалентны DFA - есть алгоритм для преобразования из NFA в DFA, а DFA - это просто NFA, который не использует недетерминированность, поэтому они оба определяют набор регулярных языков.

Есть определения DFA в соответствии с

$A$$|\delta(q,a)| \leq 1$$q$$a$$\delta(q,\varepsilon) \neq \emptyset$$\delta(q,a) = \emptyset$$a \in \Sigma$$A$

В этом случае вам не нужны все переходы. Если автомат не имеет переход фитинг следующий входной символ, он отвергает.

Это хорошее упражнение, чтобы показать, что оба определения эквивалентны с точки зрения того, какие языки могут быть приняты.

В определении DFA, каждый штат должен иметь весь алфавит в £. Для примера, если £ = {а, b, c} и Q = {q0, q1, q2}, все это государства должны иметь все это, б, в символы, что переход на другое состояние или же состояние.

Самый простой ответ на это, вы добавляете мертвое состояние для левого символа . Как и при преобразовании из NFA в DFA, мы получаем Φ переход для некоторых символов, что означает, что мы создаем для него мертвое состояние.