Используйте минимальное количество свопов, чтобы каждая корзина содержала шарики одного цвета

Есть бункеров, то я й бин содержит я шары. Шары имеют п цветы, есть а я шары цвета я . Пусть m = ∑ n i = 1 a i .$n$$i$$a_i$$n$$a_i$$i$$m=\sum_{i=1}^n a_i$

Обмен - это взять мяч из одной корзины и поменять мяч из другой корзины. Мы хотим минимальное количество перестановок, чтобы каждый бин содержал только шары одинакового цвета.

Я знаю легкие особые случаи для всех i . (Если a i = 2 для всех i , то вы даже можете сделать это, поменяв местами каждый шар не более одного раза.)$a_i\leq 2$$i$$a_i=2$$i$

Изменить : Это неправильно, потому что найти NP-трудно.$c(D)$

Если мы знаем, какой цвет подходит к какой корзине, проблема проста.

Рассмотрим мультиграф с , V = { v 1 , … , v n } . Если мы знаем, что цвет i переходит в корзину b ( i ) , то в A есть k параллельных дуг ( j , b ( i ) ), если в корзине j содержится k шаров цвета $D=(V,A)$$V=\{v_1,\ldots,v_n\}$$i$$b(i)$$k$$(j,b(i))$$A$$j$$k$$i$, Каждый компонент графа эйлеров. Минимальное количество требуемых свопов является , где C ( D ) является числом циклов дуги непересекающихся , которое охватывает A . Мы можем поменяться, "следуя" по эйлеровой схеме. (обмен, использующий дугу минимального цикла, может изменить его на меньший минимальный цикл и сам цикл). После того, как весь граф настроен на собственные циклы, мы сделали все необходимые перестановки.$m-c(D)$$c(D)$$A$

Насколько сложна эта проблема в целом?

Максимальное разложение эйлерова ориентированного графа на непересекающиеся ребра циклов - NP-Hard, по крайней мере, согласно этой книге: Алгоритмы и приложения: очерки, посвященные Эско Укконену по случаю его 60-летия .

Кстати, вот статья, которая имеет отношение к проблеме, которую вы, похоже, пытаетесь решить: Асимптотически оптимальный алгоритм для алгоритма голландского национального флага .

$n \le 6$