Упорядочение элементов так, чтобы некоторые элементы не находились между другими

Дано целое число и множество триплетов различных целых чисел найдите алгоритм, который либо находит перестановку множества такую, что или правильно определяет, что такой перестановки не существует. Менее формально мы хотим изменить порядок номеров от 1 до ; каждая тройка в указывает, что должен появляться перед в новом порядке, но не должен появляться между $n$

S \subseteq {(i, j, k) ∣ 1 \leq i, j, k \leq n, i \neq j, j \neq k, i \neq k},

$S \subseteq \{(i, j, k) \mid 1\le i,j,k \le n, i \neq j, j \neq k, i \neq k\},$

π

$\pi$

{1, 2, \dots, n}

$\{1, 2, \dots, n\}$

(i, j, k) \in S ⟹ (π (j) < π (i) < π (k)) \lor (π (i) < π (k) < π (j))

$(i,j,k) \in S \implies (\pi(j)<\pi(i)<\pi(k)) ~\lor~ (\pi(i)<\pi(k)<\pi(j))$

n

$n$

(i, j, k)

$(i,j,k)$

S

$S$

i

$i$

k

$k$

j

$j$

i

$i$ и .

k

$k$

Пример 1

Предположим, что и . затем $n=5$ $S = \{(1,2,3), (2,3,4)\}$

$\pi = (5, 4, 3, 2, 1)$ является не допустимым перестановок, так , а . $(1, 2, 3)\in S$ $\pi(1) > \pi(3)$
$\pi = (1, 2, 4, 5, 3)$ является не допустимым перестановок, так , а . $(1, 2, 3) \in S$ $\pi(1) < \pi(3) < \pi(5)$
$(2, 4, 1, 3, 5)$ является допустимой перестановкой.

Пример 2

Если и , допустимая перестановка отсутствует. Точно так же нет действительной перестановки, если и ( Я думаю, возможно, сделал ошибку здесь). $n=5$ $S = \{(1, 2, 3), (2, 1, 3)\}$ $n=5$ $S = \{(1,2,3), (3,4,5), (2,5,3), (2,1,4)\}$

Бонус: Какие свойства определяют, существует ли возможное решение? $S$

algorithms optimization scheduling

— Patrick87
источник

Почему бы не перефразировать второе условие как ? Тогда у вас есть прямая, более или менее, проблема удовлетворения ограничений. (Обратите внимание, что я упростил условие, основываясь на других предположениях.)

(σ_{m_{i}}, σ_{m_{j}}, σ_{m_{k}}) \in S ⟹ (i > j \lor j > k)

$(\sigma_{m_i},\sigma_{m_j},\sigma_{m_k})\in S\Longrightarrow (i>j \vee j>k)$

— Дейв Кларк,

Кстати: какова мотивация для этой проблемы?

— Дейв Кларк,

@DaveClarke Смотрите мои изменения. Эта проблема была абстрагирована от обсуждения, связанного с проблемой планирования, которую я обсуждал с некоторыми другими студентами в лаборатории. По сути, идея заключается в том, что у вас много заданий, некоторые из которых должны выполняться в определенном порядке. Однако вы не хотите, чтобы некоторые задания планировались между заданиями в последовательности, возможно, по очень тонким причинам.

— Patrick87

Почему сигмы? Просто определите . Вложенные подписки заставляют младенца Иисуса плакать.

Σ = {1, 2, \dots, n}

$\Sigma = \{1,2,\dots,n\}$

— Джефф

@JeffE Честно говоря, мне просто нравится оправдание, чтобы играть с уравнением. Есть что-то просто приятное в написании кода, который компилируется в эти маленькие . Не принимай это от меня, чувак.

σ

$\sigma$

— Patrick87

Вот наивный алгоритм. В конечном счете, он опирается на грубую силу, но иногда может работать хорошо.

Каждое ограничение состоит из двух конъюнктов; давайте назовем их тип- , , и тип- , . Каждый тип - $(\sigma_{m_i}, \sigma_{m_j}, \sigma_{m_k}) \in S \implies i < k \wedge \neg(i < j < k)$ $A$ $i < k$ $B$ $\neg(i < j < k)$ $B$ $i>j \vee j>k$ $i\neq j,j\neq k$

$A$ $\Theta$ $O(|S|)$
$B$ $\Theta$ $\Theta$ $B$ $\Theta$ $O(|S|^2)$
$B$ $\Theta$ $|S|$
$B$
$A$ $B$

$n$ $x_i$ $[0,n-1]$

— Дэйв Кларк
источник

Вот частичный ответ:

$i \lt k$ $NP$ $i \lt k$

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник