Асимптотика числа слов в обычном языке заданной длины

Для обычного языка , пусть быть число слов в длины . Используя Jordan канонической форму (применительно к Неаннотированным матрицам перехода некоторого DFA для ), можно показать , что при достаточно большой , где являются сложными полиномами и $L$ $c_n(L)$ $L$ $n$ $L$ $n$

c_{n} (L) = \sum_{i = 1}^{k} P_{i} (n) λ_{i}^{n},

$c_n(L) = \sum_{i=1}^k P_i(n) \lambda_i^n,$

P_{i}

$P_i$

λ_{i}

$\lambda_i$ являются сложными "собственными значениями". (Для малых

у нас могут быть дополнительные члены вида

, где

равно

если

противном случае. Они соответствуют жордановым блокам размером не менее

с Собственное значение

)

n

$n$

C_{k} [n = k]

$C_k[n=k]$

[n = k]

$[n=k]$

1

$1$

n = k

$n=k$

0

$0$

k + 1

$k+1$

0

$0$

Это представление , кажется, подразумевает , что если бесконечен , то асимптотически, для некоторого . Однако это явно неверно: для языка превышающего всех слов четной длины, но $L$ $c_n(L) \sim C n^k \lambda^n$ $C,\lambda>0$ $L$ $\{0,1\}$ $c_{2n}(L) = 2^{2n}$ . Это говорит о том, что для некоторого и для всех либо для достаточно большого либо . Это доказано вFlajolet & Sedgewick $c_{2n+1}(L) = 0$ $d$ $a \in \{0,\ldots,d-1\}$ $c_{dm+a}(L) = 0$ $m$ $c_{dm+a} \sim C_a (dm+a)^{k_a} \lambda_a^{dm+a}$ (Теорема V.3), которые приписывают доказательство Берстелю.

Доказательство, предоставленное Фолоулетом и Седжвиком, является в некоторой степени техническим; настолько технически, на самом деле, что они только зарисовывают это. Я попытался получить более элементарное доказательство, используя теорию Перрона-Фробениуса. Мы можем рассматривать граф перехода ДФА как орграф. Если орграф примитивен, то результат следует почти непосредственно из теоремы Перрона-Фробениуса. Если орграф неприводим, но импримитивен с индексом , то, учитывая « ую степень» DFA (каждый переход соответствует символам), мы получаем тот же результат. Трудный случай, когда орграф сводим. Мы можем свести к случаю пути сильно связных компонент, а затем получить результат, оценив суммы вида $r$ $r$ $r$ (Каждая такая сумма соответствует определенному способу принятия слова, проходя через различные компоненты определенным образом.) Эта сумма, в свою очередь, может быть оценена путем точного определения наибольшего члена, который соответствует. Для каждого собственного значения, которое повторяетсяраз, мы получаем дополнительный множитель.

\sum_{m_{1} + \dots + m_{k} = m} \prod_{i = 1}^{k} λ_{i}^{m_{i}} .

$\sum_{m_1+\cdots+m_k=m} \prod_{i=1}^k \lambda_i^{m_i}.$

m_{i} \propto \log λ_{i}

$m_i \propto \log \lambda_i$

r

$r$

Θ (m^{r - 1})

$\Theta(m^{r-1})$

$C \lambda_i^m$

$c_n(L)$ $d$ $dm+a$ $Cn^k\lambda^n$ $d$

$c_n(L)$

— Юваль Фильмус
источник

Какое «асимптотическое свойство» вы имеете в виду, одно прямо вверху?

— Рафаэль

Именно это свойство.

— Юваль Фильмус

Для приводимого случая, нет ли простых комбинаторных границ (возможно, полученных с учетом подмножеств путей и мультимножеств путей)?

— Андрас Саламон

Есть простые границы, но вы, вероятно, теряете там полиномиальные факторы. Существует сумма с полиномиально большим количеством слагаемых, и мы можем оценить ее, используя наибольший слагаемый. Тем не менее, это не даст нам правильную асимптотику, так как другие слагаемые затухают довольно быстро. Возможно, оценка с интегралом возможна, но это уже становится немного грязным.

— Юваль Фильмус

как правило, поиск альтернативных или более элементарных доказательств проблем может быть очень трудным, и в основном это теоретическое упражнение ... есть ли какая-то дополнительная мотивация / bkg / application? Предлагаю перейти на другую сторону.

— vzn

Набросок, который вы набросали, похоже, соответствует трактовке Ричарда Стэнли метода матричного переноса в перечислительной комбинаторике, том 1 (ссылка: стр. 573; печать: стр. 500).

Он начинает с производящей функции и распаковывает ее, рассматривая орграфы и допустимые и запрещенные факторы. Затем он абстрагируется от бесплатных моноидов, где использует уточненную версию сумм, которые вы дали для доказательства:

$B$ $A^*$ $B$ $B^*(\lambda)=(I-B(\lambda))^{-1}$

Проработав несколько приложений, он также закрывает раздел, обсуждая продукты Адамара относительно горизонтально-выпуклых полиамино.

— JSS
источник

Можете ли вы указать на теорему в тексте Стэнли, дающую асимптотические оценки?

— Юваль Фильмус

Я не могу найти какой-либо непосредственной, явной ссылки на Стэнли, но Флажолет и Седжвик признают его влияние на их обращение с методом матрицы переноса в разделе V.6. В частности, следствие V.1 включает предыдущие теоремы (V.7, V.8), которые, кажется, следуют вашей линии рассуждений. Похоже, они также следуют плану Стэнли, начиная с подраздела V.5, где предложение V.6 соответствует теореме Стэнли 4.7.2 и следствию 4.7.3

— JSS

Я специально ищу асимптотический анализ. Точная формула для количества слов заданной длины, заданного методом матрицы переноса, - это то, что я считаю само собой разумеющимся.

— Ювал Фильмус