Что такое компактный способ представления раздела множества?

Существуют эффективные структуры данных для представления заданных разделов. Эти структуры данных имеют хорошие временные сложности для таких операций, как Union и Find, но они не особенно эффективны в использовании.

Что такое эффективный для пространства способ представления раздела набора?

Вот одна из возможных отправных точек:

Я знаю , что количество разделов набора с элементами , в -го номер Bell . Таким образом, оптимальной пространственной сложностью для представления разбиения множества с элементами является бит. Чтобы найти такое представление, мы могли бы искать взаимно-однозначное соответствие между (набором разделов набора из элементов) и (набором целых чисел от до ).$N$$B_N$$N$$N$$\log_2(B_N)$$N$$1$$B_N$

Есть ли такое отображение, которое эффективно вычислять? Под «эффективным» я подразумеваю, что я хочу преобразовать это компактное представление в / из простого в обращении представления (такого как список списков) во временном полиноме по или .$N$$\log_2(B_N)$

Вы можете использовать способ получения формулы кодирования ниже, чтобы найти кодировку: Это доказывается с учетом количества других элементов в детали, содержащей элемент . Если их , то у нас есть для них и для разделения остальных.

$$B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k.$$ $n+1$$n-k$$\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$$B_k$

Используя это, мы можем дать рекурсивный алгоритм для преобразования любого раздела в число в диапазоне . Я предполагаю, что у вас уже есть способ преобразования подмножества размера из в число в диапазоне (такой алгоритм может быть разработан таким же образом, используя повторение Паскаля ).$n+1$$0,\ldots,B_{n+1}-1$$k$$\{1,\ldots,n\}$$0,\ldots,\binom{n}{k}-1$$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}$

Предположим, что часть, содержащая содержит других элементов. Найдите их код . Вычислить раздел , "сжав" все оставшиеся элементы до этого диапазона. Рекурсивно вычислить его код . Новый код:$n+1$$k$$C_1$$\{1,\ldots,n-k\}$$C_2$

$$C = \sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l + C_1 B_{n-k} + C_2.$$

В другом направлении, учитывая код , найдите уникальное такое, что и определить Поскольку , его можно записать как , где . Теперь кодирует элементы в части, содержащей , а кодирует разбиение$C$$k$

$$\sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l \leq C < \sum_{l=0}^{n-k} \binom{n}{l} B_l,$$ $$C' = C - \sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l.$$ $0 \leq C' < \binom{n}{k} B_{n-k}$$C_1 B_{n-k} + C_2$$0 \leq C_2 < B_{n-k}$$C_1$$n+1$$C_2$$\{1,\ldots,n-k\}$, который может быть декодирован рекурсивно. Чтобы завершить декодирование, вы должны «разархивировать» последний раздел, чтобы он содержал все элементы, отсутствующие в части, содержащей .$n+1$

---

Вот как использовать ту же технику для рекурсивного кодирования подмножества размером размера . Если то код равен , поэтому предположим, что . Если то пусть - это код как подмножество размера из ; код - . Если то пусть будет кодом , как подмножество размера из ; код$S$$\{1,\ldots,n\}$$k$$k=0$$0$$k>0$$n \in S$$C_1$$S \setminus \{n\}$$k-1$$\{1,\ldots,n-1\}$$S$$C_1$$n \notin S$$C_1$$S$$k$$\{1,\ldots,n-1\}$$S$это .$C_1 + \binom{n-1}{k-1}$

Чтобы декодировать код , есть два случая. Если то декодировать подмножество из размера чей код , и вывести . В противном случае, декодировать подмножество из размера которой код , и выход .$C$$C < \binom{n-1}{k-1}$$S'$$\{1,\ldots,n-1\}$$k-1$$C$$S' \cup \{n\}$$S'$$\{1,\ldots,n-1\}$$k$$C - \binom{n-1}{k-1}$$S'$