Hidoku NP завершен?

Хидоку - это сетка с некоторыми предварительно заполненными целыми числами от 1 до . Цель состоит в том, чтобы найти путь последовательных целых чисел (от 1 до ) в сетке. Более конкретно, каждая ячейка сетки должна содержать различное целое число от 1 до и каждая ячейка со значением должна иметь соседнюю ячейку со значением (также может быть по диагонали). $n \times n$ $n^2$ $n^2$ $n^2$ $z ≠ n^{2}$ $z + 1$

Трудно ли NP решить, является ли данный Hidoku разрешимым? Какое сокращение можно использовать?

Изменить: согласно комментариям, я даю небольшое разъяснение. Дана сетка ячеек, некоторые из которых уже содержат значения (целые числа от 1 до n²). Мы должны заполнить все оставшиеся ячейки целыми числами от 1 до , чтобы две ячейки не имели одинаковое значение и чтобы каждая ячейка со значением имела соседа со значением . То есть после заполнения ячеек мы должны найти путь . В сетке, которая логически посещает каждую ячейку. $n^2$ $z ≠ n²$ $z + 1$ $1, 2, 3,\cdots, n^2$

Примером хидоку может быть http://www.janko.at/Raetsel/Hidoku/018.c.gif . Уже решенный Hidoku находится на http://diepresse.com/images/uploads/3/f/7/586743/spectrumsommerraetsel_7august_hidoku_schwer_loesung20100810172340.gif , где вы можете увидеть путь, на который я ссылался.

complexity-theory reductions np-hard

— IPSec
источник

Интуитивно, не вдаваясь в долгие размышления, он кажется на первый взгляд многополосным. Что-то вроде динамического программирования для допустимых значений ( ) и вершин ( ). Звучит разрешимо во времени .

1, \dots, n^{2}

$1, \dots, n^2$

v_{1}, \dots v_{n}

$v_1, \dots v_n$

O (n^{3})

$O(n^3)$

— Пол Г.Д.

Это можно смоделировать аналогично графу, соединяя узлы с ребрами, если они являются преемниками в . Затем вы ищете путь Гамильтона. В соответствии с путями Гамильтона в сеточных графах Itai et al. (1982) эта задача является NP-полной в сеточных графах. Это не сразу подходит к вашей проблеме, так как вы разрешаете диагональные соединения, но это плохо.

N

$\mathbb{N}$

— Рафаэль

@ Рафаэль не построил граф DAG?

— Пол Г.Д.

Я не понимаю, как это DAG. Насколько я понимаю, входной сигнал представляет собой (неориентированный) сеточный граф (содержащий также диагональные ребра), и цель состоит в том, чтобы найти гамильтонову траекторию, где задано положение некоторых узлов на пути.

— Джордж

@ Джордж Окей, я интерпретировал вопрос как поиск максимального пути увеличения значений в сетке!

— Пол Г.Д.

Ответы:

Я думаю, что это -полный: как заметил Рафаэль, гамильтонов цикл на сеточных графах с проблемой дырок является NP-полным ( Алон Итай, Кристос Х. Пападимитриу, Джейм Луис Шварцфитер: Пути Гамильтона в сеточных графах. SIAM J Comput. 11 (4): 676-686 (1982) ). $\sf{NP}$

Таким образом, имея сеточный граф с отверстиями, вы можете легко построить эквивалентную игру Хидоку, где начальные фиксированные ячейки заполняют все четные диагонали; пустые нечетные диагонали образуют неориентированный граф, который эквивалентен исходному графу сетки и Hidoku имеет решение тогда и только тогда, когда исходный граф сетки имеет гамильтонову путь. $G$ $G$

введите описание изображения здесь

Рисунок 1: сетка с отверстиями и эквивалентной головоломкой Хидоку (синие ячейки представляют собой начальные фиксированные пронумерованные ячейки ( - первая, - последняя), белые ячейки - это ячейки, которые игрок должен заполнить, фиолетовый линия указывает последовательность начальных фиксированных пронумерованных ячеек). $12 \times 12$ $1$ $144$

Вспомогательные (заполненные) линии могут быть добавлены к нижней или правой стороне, чтобы сделать его квадратным.

Другой пример перехода от графика сетки к головоломке Хидоку: график сетки 6x4 встроен в большую сетку 13x13; четные диагонали заполнены фиксированными числами, а оставшиеся свободные ячейки эквивалентны исходному графу сетки.

введите описание изображения здесь

Полную картину с трансформацией можно скачать здесь .

Некоторые дополнительные примечания для завершения ответа:

проблема также известна как Hidato ; доска может иметь произвольную форму (но, как обобщение квадратного случая, она остается NP-трудной);
как правильно показал Стивен Стадницкий в своем ответе, не очевидно, что проблема в NP, если начальная частично заполненная сетка не задана как массив целых чисел, а задана в некотором кратком представлении; однако ясно в NP, если начальная доска дана, используя разумный список представления целых чисел; $n \times n$
Я думаю, что оригинальные правила игры говорят, что решение должно быть уникальным ; так что проблема в США (US-hard) и вряд ли в NP.

Таким образом, если мы отбросим ограничение уникального решения и укажем начальную доску со списком из целых чисел, игра будет -complete. $n^2$ $\sf{NP}$

— Вор
источник

Разве это не DAG? Я полностью не понял вопрос?

— Пол GD

@ PålGD: нет, я не думаю, что это DAG, это неориентированный граф сетки с диагональными ребрами. Игра начинается с частично заполненной доски, и игрок должен начать с ячейки 1 и дойти до последней, делая ортогональные или диагональные шаги (но, возможно, я не очень хорошо помню правила ... теперь я проверяю это)

— Vor

Но там написано «найди путь последовательных целых чисел».

— Пол GD

Возможно, это просто означает, что он не может посещать одну и ту же камеру дважды, и что все камеры должны быть посещены

— Vor

1

$1$

n^{2}

$n^2$

$n\times n$ $\Omega(n)$ $n$ $\lg n$ $(x_i, y_i, w_i): x_i, y_i\leq n, w_i\leq n^2$ $(x_i, y_i)$ $w_i$ $\lg n + \lg n + \lg n^2 = 4\lg n\in O(\lg n)$ $\Omega(n)$ $o(n)$

$\Omega(n)$

(Для обсуждения подобных вопросов, см. Мой вопрос о сложности краткого Nurikabe на сайте cstheory.SE.)

— Стивен Стадницки
источник

Не указание размера платы в одинарном формате кажется мне необоснованной интерпретацией.

— Дэвид Эйзенстат

@DavidEisenstat Это не обязательно естественная интерпретация, но она кажется мне совершенно правильной.

— Стивен Стадницки,

@ StevenStadnicki: Я согласен с вами, я сделал аналогичную заметку в доказательстве NP-полноты Binary Puzzle , которую недавно опубликовал на cstheory.stackexchange.com. Хотя неунарное представление действительно не очень разумно :-). Я добавлю примечание на мой ответ. И я должен решить проблему уникальности решения; потому что я думаю, что оригинальные правила говорят, что решение должно быть уникальным.

— Вор