Нахождение кратчайших и самых длинных путей между двумя вершинами в DAG

Учитывая невзвешенный DAG (направленный ациклический граф) $D = (V,A)$ и две вершины $s$ и $t$ , возможно ли найти кратчайший и самый длинный путь от $s$ до $t$ за полиномиальное время? Длина пути измеряется количеством ребер.

Я заинтересован в поиске диапазона возможных длин пути за полиномиальное время.

Ps., Этот вопрос является дубликатом вопроса StackOverflow Самый длинный путь в группе обеспечения доступности баз данных .

Для проблемы кратчайшего пути, если мы не заботимся о весах, то поиск в ширину - верный путь. В противном случае алгоритм Дейкстры работает до тех пор, пока нет отрицательных ребер.

Для самого длинного пути вы всегда можете сделать Беллмана-Форда на графе со всеми отрицательными весами ребер. Напомним, что Bellman-Ford работает до тех пор, пока нет циклов с отрицательным весом, и поэтому работает с любыми весами на DAG.

Пусть и м = | E ( G ) | , Обозначим через w ( a → b ) вес ребра ( a → b ) . Предположим, что вы хотите найти минимальную и максимальную стоимость пути от s до t .$n = |V(G)|$$m = |E(G)|$$w(a \to b)$$(a \to b)$$s$$t$

Начиная с , выполните следующее:$b := t$

1. Если уже был посещен, вернуть уже вычисленные min ( b ) и max ( b ) . В противном случае отметьте b как посещенный.$b$$\min(b)$$\max(b)$$b$

2. Определите и запишите и max ( b ) следующим образом.$\min(b)$$\max(b)$

   • Если , запишите min ( s ) : = max ( s ) : = 0 .$b = s$$\min(s) := \max(s) := 0$
   • Остальное установить игнорируя вершины, для которыхmin(a)=max(a)=inaccessible. При вычислении минимума и максимума для пустого набора ребер (без входных ребер доbили вообще без учета), установитеmin(b $$\begin{align*}\min(b) &:= \min_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \min(a) \Bigr] \\ \max(b) &:= \max_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \max(a) \Bigr]\end{align*}$$ $\min(a) = \max(a) = \mathrm{inaccessible}$$b$ .$\min(b) := \max(b) := \mathrm{inaccessible}$

Вы должны быть в состоянии доказать, что этот алгоритм работает за время , пренебрегая временем, необходимым для инициализации всех вершинных переменных.$O(m)$