Являются ли контекстно-свободные языки в

20

Языки без контекста не закрыты в дополнении, мы это знаем.

Насколько я понимаю, контекстно-свободные языки, которые являются подмножеством $a^*b^*$ для некоторых букв $a,b$ , закрыты в дополнении (!?)

Вот мой аргумент. Каждый CF язык $L$ имеет полулинейный образ Париха $\pi(L) = \{ (m,n) \mid a^mb^n \in L \}$ . Полулинейные множества замкнуты относительно дополнения. Множество векторов, представляющих полулинейное множество, может быть легко преобразовано в линейную грамматику.

Вопрос. Есть ли легкодоступная ссылка на этот факт?

Технически эти языки называются ограниченными , т. Е. Подмножеством $w_1^* \dots w_k^*$ для некоторых слов $w_1,\dots,w_k$ .

Моя мотивация для этого вопроса взята из недавнего вопроса о свободе контекста $\{ a^nb^m \mid n^2 \neq m \}$ . Его дополнение внутри $a^*b^*$ кажется более простым в обращении.

— Хендрик Ян
источник

Вы проверили «Математическую теорию контекстно-свободных языков» Гинзбурга? По-видимому, теорема 5.4.2 дает характеристику ограниченных контекстно-свободных языков, на которые вы ссылаетесь, и я уверен, что Гинзбург упомянул бы смысл дополнения ограниченных контекстно-свободных языков (в двумерном случае).

— Юваль Фильмус

12

Эта характеристика ограниченных контекстно-свободных языков обусловлена Гинзбургом («Математическая теория контекстно-свободных языков») и появляется в следствии 5.3.1 в его книге. Для общего существуют некоторые ограничения на полулинейные множества, но при эти ограничения всегда выполняются, и поэтому нетрудно сделать вывод, что дополнение такого языка (в пределах ) не зависит от контекста , $k$ $k \leq 2$ $w_1^* w_2^*$

Гинзбург упоминает эти последствия в своей книге.

Следствие 5.6.1 Если и являются [контекстно-свободными] языками, и словами, то является [контекстно-свободным] языком. $M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$ $M_2$ $w_1$ $w_2$ $M_1\cap M_2$

Следствие 5.6.2 Если и являются [контекстно-свободными] языками, и словами, то и являются [контекстно-свободными] языки. $M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$ $M_2$ $w_1$ $w_2$ $M_1 - M_2$ $M_2-M_1$

— Юваль Фильмус
источник

2

Другое доказательство использует следующую характеристику, доказанную в этом ответе :

Язык зависит от контекста, если определима в арифметике Пресбургера. $\{ a^i b^j : (i,j) \in A \}$ $A$

Очевидно , определимо в Пресбургере арифметических тогда и только тогда определим в Пресбургере арифметике. $A$ $\overline{A}$

$L_i \subseteq a^*b^*$

— Юваль Фильмус
источник