Честная нарезка тортов, когда игроки присоединяются поздно

Обычное изложение проблемы справедливой резки тортов предполагает, что все игроков получают свою долю одновременно. Однако во многих случаях игроки прибывают постепенно. Например, мы можем разделить торт по n игрокам, но затем приходит новый игрок и хочет получить долю.$n$$n$

Как правило, разделение по принципу честного торта требует больших усилий (например, требует, чтобы игроки отвечали на многие вопросы), особенно когда число игроков велико.

Можно ли использовать существующее разделение пирога на игроков, чтобы создать новое разделение пирога для n + 1 игроков с минимальными дополнительными усилиями (т.е. существенно меньшими усилиями, чем перераспределение пирога с нуля)?$n$$n+1$

Я сразу скажу, что не могу дать хороший ответ на ваш вопрос (думаю, вы могли бы, возможно, получить из него исследовательскую работу), но я думаю, что могу помочь, определив проблему формально и указав, где некоторые из трудностей врут.

Фон . Позвольте мне четко сформулировать модель для разрезания тортов. Мы хотим разделить интервал между n игроками. У каждого игрока i есть функция оценки v i ( S ) по подмножествам S торта. Предположим, что эта функция является вероятностной мерой; это неотрицательное и добавка (для непересекающихся A , B ⊆ [ 0 , 1 ] , v я ( ∪ B ) = v я$[0,1]$$n$$i$$v_i(S)$$S$$A,B \subseteq [0,1]$ ) и v i ( [ 0 , 1 ] ) = 1 . Решением этой проблемы являетсяпротоколили алгоритм, который запрашивает игроков и назначает части интервала. Обратите внимание, что игроки могут неверно сообщать / лгать, отвечая на вопросы.$v_i(A \cup B) = v_i(A) + v_i(B)$$v_i([0,1]) = 1$

Некоторые документы будут иметь более конкретные ограничения; например , функции оценки являются непрерывными, или кусочно-линейными, или кусочно-постоянными.

$\{S_1,\dots,S_n\}$

• $i$$(1/n)v_i([0,1])$$i$$1/n$
• $v_i(S_i) \geq v_i(S_j)$$j$

Обратите внимание, что зависть подразумевает пропорциональность.

Также нам могут потребоваться «эксплуатационные» свойства, такие как разрезание на несколько частей, полиномиальное время работы (или вообще вычислимость / конструктивность - мы не хотим использовать Аксиому выбора, чтобы выбрать подмножество торта! ), и так далее.

$1$

Во-вторых, мы всегда можем решить вашу проблему, забрав у всех весь торт и используя известный алгоритм для его перераспределения с нуля. Поэтому вопрос в том, есть ли более элегантный способ сделать это. Я думаю, что хороший способ дать количественную оценку этому состоит в том, «когда перераспределение требует меньше времени или меньше сокращений, чем начинать с нуля, и / или когда игроки получают значительную часть своего текущего среза?»

1. $n$$n+1$

$n+1$

1. $n$$n+1$

$1/n$$1$$1/n$$2$$(n-1)/n$$2$$1/n$$3$$(n-1)/n$$n$$1/n$$1$$(n-1)/n$$2$$1$$3$$2$

Одной из ссылок может быть Уолш, « Разрезание тортов онлайн» , в Алгоритмической теории принятия решений 2011 (ссылка в формате pdf). Но я думаю, что в статье предполагается, что мы заранее знаем количество прибывающих агентов, и предполагается, что игрокам необходимо распределить фигуру именно тогда, когда они уходят (что до конца протокола), так что это на самом деле не относится к вашей проблеме.

$n$$n+1$$n+1$$n$

$C$$r$$n$$\frac{\pi r^2}{n}$$(n+1)$$n+1$

Вычисление чисел просто; для первого нового игрока, просто решить

$\qquad \pi r_1^2 = \frac{\pi r^2}{n+1}$

чтобы получить радиус для своего сюжета. Во-вторых, решить

$\qquad\begin{align} \pi r_1^2 &= \frac{\pi r^2}{n+2} \\ \pi r_2^2 - \pi r_1^2 &= \frac{\pi r^2}{n+2} \end{align}$

$n + i$$r_i = \frac{r\sqrt{i}}{\sqrt{n+k}}$$k$

$n=6$$k=0,1,2,3$

^{[ источник ]}

$n$$n$