Сортировать массив из 5 целых чисел с максимумом 7 сравнений

Как отсортировать список из 5 целых чисел, чтобы в худшем случае потребовалось 7 сравнений? Мне все равно, сколько других операций выполняется. Я не знаю ничего конкретного о целых числах.

Я пробовал несколько разных подходов «разделяй и властвуй», которые сводят меня к 8 сравнениям, например, следуя подходу сортировки слиянием или комбинируя сортировку слиянием с использованием бинарного поиска, чтобы найти позицию вставки, но каждый раз, когда я получаю 8, сравнивает наихудший случай ,

Сейчас я просто ищу подсказку, а не решение.

algorithms sorting

— Роберт С. Барнс
источник

Вы пытались написать дерево для сравнения? Это имеет листов, каждая из которых соответствует перестановке целых чисел. Если вы не знаете, что я имею в виду под деревом сравнения, знаете ли вы доказательство того, что вам нужно сравнений? Ps, что заставляет вас думать, что это возможно?

5! = 120

$5! = 120$

n \log n

$n \log n$

— Пол GD

Ну, в дополнении 8 бит два, if(x > y)это то же самое, if((x - y) & 0x80)что вряд ли можно сравнить. Я предполагаю, что мы должны забыть, что объекты являются целыми числами, и предположить, что мы должны использовать некоторую магическую compare(x, y)функцию для сравнения этих объектов ...

— Karolis Juodelė

Рассматривает ли раздел 5.3, посвященный оптимальной сортировке в томе 3 «Искусства компьютерного программирования» , который охватывает именно этот вопрос, «подсказку или решение? :-)

— Стивен Стадницки,

Граница действительно то, чтои . Так что это возможно (в принципе).

2^{c} \geq n!

$2^c \ge n!$

5! = 120 < 2^{7} = 128

$5! = 120 < 2^7 = 128$

— vonbrand

по теме: сортировка массива с минимальным количеством сравнений

— Янус Троелсен

Ответы:

Есть только один способ начать этот процесс (и почти для всех ваших решений о том, что сравнивать на последующих шагах, есть только один правильный). Вот как это понять. Во-первых, обратите внимание, что для сравнения можно получить возможных ответов, и различных перестановок, которые вы должны различать. $2^7 =128$ $5! = 120$

Первое сравнение легко: вам нужно сравнить два ключа, и, поскольку вы ничего о них не знаете, все варианты одинаково хороши. Допустим, вы сравниваете и и обнаруживаете, что . Теперь у вас осталось возможных ответов и осталось возможных перестановок (поскольку мы исключили половину из них). $a$ $b$ $a \leq b$ $2^6 = 64$ $60$

Затем мы можем либо сравнить и , либо сравнить с одним из ключей, которые мы использовали в первом сравнении. Если мы сравним и и узнаем, что , то у нас есть оставшихся ответа и возможных перестановок. С другой стороны, если мы сравним $c$ $d$ $c$ $c$ $d$ $c \leq d$ $32$ $30$ $c$ с , и мы обнаружили , что , мы имеем возможных перестановок оставшихся, потому что мы исключили из возможных перестановок (те, $a$ $a \leq c$ $40$ $1/3$ ). У нас есть только возможных оставшихся ответов, поэтому нам не повезло. $c \leq a \leq b$ $32$

Итак, теперь мы знаем, что нам нужно сравнить первый и второй ключи, а также третий и четвертый ключи. Можно предположить, что у нас и . Если мы сравним с любого из этих четырех ключей, по тем же соображениям мы использовали в предыдущем шаге, мы могли бы устранить только из перестановок остальных, и мы не повезло. Таким образом, мы должны сравнить два ключа . С учетом симметрии у нас есть два варианта: сравнить и или сравнить и $a\leq b$ $c \leq d$ $e$ $1/3$ $a,b,c,d$ $a$ $c$ $a$ $d$ , Аналогичный аргумент подсчета показывает, что мы должны сравнить и . Мы можем предположить без ограничения общности, что , и теперь мы имеем и . $a$ $c$ $a \leq c$ $a \leq b$ $a \leq c \leq d$

Так как вы попросили подсказку, я не буду разбираться с остальными аргументами. У вас осталось четыре сравнения. Используйте их с умом.

— Питер Шор
источник

Как вы узнали, что сравнение

приводит вас к 40 перестановкам?

a

$a$

c

$c$

— Роберт С. Барнс

@Robert: Предположим , что у вас есть

. Тогда есть две перестановки

согласующиеся с этими ограничениями,

. Для каждой из этих двух перестановок есть четыре места, которые вы можете добавить

и пять мест, которые вы можете добавить

a \leq b

$a \leq b$

a \leq c

$a \leq c$

a, b, c

$a,b,c$

a < b < c

$a < b < c$

a < c < b

$a < c < b$

d

$d$

e

$e$

— Питер Шор

Вы можете найти это в книге «Искусство компьютерного программирования», том III, автор D.Knuth, но стратегия такова (я предполагаю, что у вас есть массив ): если вы хотите прочитать подсказку только первые две строки моего ответа $\{a,b,c,d,e\}$

Первая группа пар чисел: . $(a,b), (c,d)$
Сравните пары, чтобы отсортировать их, например: . $a<b, c<d$
Сравнивая наименьшие элементы пар, мы получаем результат, например, . $a<c$
Сравните последний элемент , с большим элементом в последнем сравнении ( c )
- Если , легко получить 3 оставшихся сравнения. Законченный. $e<c$
- Если то вы должны отсортировать { b , c , d , e } со знанием c < e , c < d .
  - , если d < e, то
    - , если b > d
      - . Законченный. $Compare(b,e)$
    - если
      - . Законченный. $Compare(b,c)$
  - если
    - если b > e
      - . Законченный. $Compare(b,d)$
    - если
      - . Законченный. $Compare(b,c)$

Все вышеперечисленные способы являются причиной не более трех сравнений после первого сравнения с . (означает не более 7). $e$ $c$

— Джордж
источник

Вы уверены, что это правильно? Предположим, вы получите следующие результаты: a <b, c <d, a <c, а затем c <e, b <e, c <b и d <e. Порядок a <c <b <d <e и a <c <d <b <e оба согласуются с ними. Причина в том, что b и d никогда не сравниваются, неявно или явно. Может быть, я где-то ошибаюсь, если так, пожалуйста, поправьте меня.

— Джордж,