Планирование работы с проблемой узкого места

Учитывая заданий , для выполнения каждого задания требуется раз.J 1 , J 2 , . , , , J п Г я > 0 , Т я ∈ $n$$J_1,J_2,...,J_n$$T_i > 0, T_i \in N$

Каждое задание должно быть предварительно обработано и постобработано одной машиной M, которая может обрабатывать только 1 задание за раз, и обе фазы требуют 1 единицу времени. После предварительной обработки задание отправляется на машину с неограниченной мощностью (которая может параллельно обрабатывать неограниченное количество заданий), и оно будет готово в момент времени , затем оно должно быть отправлено ( немедленно ) на машину M снова для Постобработка.T $J_i$$T_i$

Связанное решение проблемы является:

Входной данные : Время обработки из рабочих мест, целое число Вопрос: можем ли мы обработать все рабочие места во время , используя вышеупомянутую модель «узкого места»? N K ≥ 2 N ≤ $T_i >0, T_i \in \mathbb{N}$$N$$K\geq 2N$
$\leq K$

У этой проблемы есть имя?
В чем его сложность? (он в или его -полным?) Н $\sf{P}$$\sf{NP}$

ОБНОВЛЕНИЕ 29 марта:
как правильно заметил М. Кафаро в своем ответе, проблема аналогична проблеме неограниченного минимального времени окончания (UMFT) (см. Главу 17 Руководства по алгоритмам планирования ), которая является -твердой (доказано). в W. Kern и W. Nawijn, "Планирование многозадачных заданий с задержками на одной машине", Университет Твенте, 1993). Как я вижу, есть некоторые различия, потому что в моей модели:$\sf{NP}$

• время до / после обработки постоянно (1 единица времени)
• как только задание завершено, оно должно быть немедленно обработано (модель UMFT допускает задержки)

Я не нашел в Интернете доказательств Kern & Nawijn, поэтому я до сих пор не знаю, могут ли вышеуказанные ограничения изменить сложность проблемы.

Наконец, вы можете представить весь процесс как робот- одиночка с большой духовкой; робот может готовить разные типы продуктов по одному (все требуют одинакового времени приготовления), помещать их в духовку, и как только они приготовятся, он должен вынуть их из духовки и добавить холодные ингредиенты ... « проблема готовить робота » :-)

W. Yu, H. Hoogeveen и JK Lenstra (2004) доказали, что этот вопрос доказан NP-hard в статье «Минимизация времени простоя в поточном цехе с двумя машинами с задержками и операциями в единичное время - NP-Hard» . Это доказано в разделе 9 статьи:

Теорема 24. Задача минимизации рабочего времени на одной машине с двумя операциями в единицу времени на задание с произвольными промежуточными задержками сильно NP-трудна.

Точная модель, изучаемая здесь, состоит в том, что задание состоит из двух операций, которые занимают единицу времени, разделенную некоторым временем задержки . Проблема является строго NP-полной, как в том случае, когда точное значение задержки указано для каждого задания, так и в тех случаях, когда для каждого задания указано некоторое минимальное время задержки.T я T $i$$T_i$$T_i$

Это похоже на так называемую модель планирования «главный-подчиненный», представленную Сахни . В частности, ваша проблема относится к системам с одним главным мастером и подчиненным. Вы можете выделить несколько случаев:

1) Если вы не добавляете каких-либо дополнительных ограничений на порядок выполнения задания (как в вашем случае), проблема называется проблемой безусловного минимального времени окончания (UMFT) и, как было показано, является NP-трудной;

2) Одинаковые заказы до и после обработки: возможно разработать алгоритм для построения расписания с сохранением порядка с минимальным временем окончания (OPMFT);$O(n \log n)$

Следовательно, в случае 1 ваша проблема - трудная, а в случае 2 - в$NP$$P$

Дополнительные связанные проблемы:

3) Постобработка в обратном порядке: для любой заданной перестановки предварительной обработки, , можно построить график обратного порядка, называемый каноническим графиком обратного порядка (CROS). При заданной перестановке перестановок соответствующий CROS является уникальным. Легко установить, что каждый минимальный график обратного заказа на конечное время (ROMFT) является CROS.$σ$$σ$

4) ограничение отсутствия ожидания в процессе:

a) [MFTNW] Минимизировать время окончания с учетом ограничения на отсутствие ожидания в процессе; b) [OP-MFTNW] Это версия MFTNW, сохраняющая порядок. Таким образом, минимизируйте время окончания с учетом ограничений, связанных с отсутствием ожидания в процессе и сохранением заказа; c) [RO-MFTNW] Минимизировать время окончания с учетом ограничений по времени ожидания и обратного порядка.

Задачи и являются NP-сложными, а допускает решение за полиномиальное время.б $a$$b$$c$

Дополнительные подробности в Руководстве по планированию , глава 17.