Противоречие для неравенства P и NP?

Я пытаюсь утверждать, что N не равен NP, используя теоремы иерархии. Это мой аргумент, но когда я показал его нашему учителю и после дедукции, он сказал, что это проблематично, когда я не могу найти вескую причину для принятия.

Мы начнем, предполагая , что $P=NP$ . Тогда из этого следует, что $\mathit{SAT} \in P$ что само по себе следует из того, что $\mathit{SAT} \in TIME(n^k)$ . Как стенды, мы можем сделать уменьшить каждый язык в $NP$ к $\mathit{SAT}$ . Следовательно, $NP \subseteq TIME(n^k)$ . Напротив, теорема иерархии времени утверждает, что должен быть язык $A \in TIME(n^{k+1})$ , которого нет в $TIME(n^k)$ . Это привело бы нас к выводу, что $A$ находится в $P$ , а не в $NP$ , что противоречит нашему первому предположению. Таким образом, мы пришли к выводучто $P \neq NP$ .

Что-то не так с моим доказательством?

complexity-theory time-complexity p-vs-np

— inverted_index
источник

Пожалуйста, напишите что-нибудь вроде $\mathit{SAT}$ вместо $SAT$ . Как писал Лесли Лэмпорт в своей оригинальной книге LaTeX, последняя означает S раз A раз T.

— Олифонт - восстановить Монику

А еще лучше используйте complexityпакет и просто напишите \SAT. (Я думаю, что это не доступно в этом стеке, хотя.)

— Олифаунт - восстановить Монику

@Oliphaunt Почему бы не предложить редактирование, когда вы можете улучшить сообщение? Хотя я должен сказать, что здесь разница (если есть) намного тоньше, чем я ожидал.

— Дискретная ящерица

@Discretelizard Я часто делаю, но на этот раз это было "слишком много работы" (я был / я на мобильном телефоне). Ввод всех этих $ и \ является привередливой работой. Я выбрал для обучения вместо. (Это решение, возможно, не было полностью рациональным.)

— Олифонт - восстановить Монику

Ответы:

Тогда из этого следует, что $SAT \in P$ что само по себе следует из того, что $SAT \in TIME(n^k)$ .

Конечно.

Как стенды, мы можем сделать уменьшить каждый язык в $NP$ к $SAT$ . Следовательно, $NP \subseteq TIME(n^k)$ .

Нет. Полиномиальное сокращение времени не бесплатно. Можно сказать, что требуется время $O(n^{r(L)})$ чтобы привести язык $L$ к $SAT$ , где $r(L)$ - показатель степени в использованном сокращении времени за полином. Это где ваш аргумент разваливается. Не существует конечного $k$ такого, что для всех $L \in NP$ имеем $r(L) < k$ . По крайней мере, это не следует из $P = NP$ и было бы гораздо более сильным утверждением.

И это более сильное утверждение делает действительно конфликт с теоремой иерархии времени, которое говорит нам , что $P$ не может разрушиться в $TIME(n^k)$ , не говоря уже о всех $NP$ .

— orlp
источник

Это не только время для самого сокращения. Вы можете уменьшить проблему. Если я могу решить X в O (n ^ 5), и я могу свести проблему в Y в O (n ^ 6) к экземпляру X размером O (n ^ 3), то мне нужно O (n ^ 15) в целом.

— gnasher729

Забавно, что этот аргумент применим и к задачам, полным PTIME, например, HORNSAT, который решаем за линейное время (но не все задачи в P являются линейным временем).

— Коди

Suppose that $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{NTIME}[n^k]$ . By the nondeterministic version of the time hierarchy theorem, for any $r$ , there is a problem $X_r\in\mathrm{NTIME}[n^r]$ that is not in $\mathrm{NTIME}[n^{r-1}]$ . This is an unconditional result that doesn't depend on any kind of assumption such as $\mathrm{P}\neq\mathrm{NP}$

Выберите любой $r>k$ . Предположим, что мы имеем детерминированное сокращение от $X_r$ до $\mathrm{3SAT}$ которое выполняется за время $n^t$ . Он создает экземпляр размером $\mathrm{3SAT}$ не более $n^t$ , который может быть решен за время не более $(n^t)^k=n^{tk}$ . По нашему выбору $X_r$ , мы должны иметь $tk>r-1$ , поэтому $t>(r+1)/k$ . Эта функция растет без связи с $r$ .

Не Это означает , что там не связаны о том , как долго он может сделать , чтобы уменьшить произвольное $\mathrm{NP}$ задачу $\mathrm{3SAT}$ . Даже если $\mathrm{3SAT}\in \mathrm{P}$ , все еще нет предела тому, как долго эти сокращения могут занять. Так, в частности, даже если $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ для некоторого $k'$ , мы не можем заключить, что $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k''}]$ $k''>k'$

— Дэвид Ричерби
источник