Звезда свободного языка против обычного языка

Мне было интересно, так как * сама звезда-свободный язык, есть регулярный язык , который не является звездой свободного языка? Не могли бы вы привести пример?$a^*$

(из википедии ) Лоусон определяет беззвездные языки как:

Обычный язык называется свободным от звезд, если он может быть описан с помощью регулярного выражения, составленного из букв алфавита, символа пустого множества, всех логических операторов - включая дополнение - и конкатенации, но без звезды Клини.

Вот доказательство того, $a^*$ имеет звезд:

$\emptyset$ является звездой свободной$\Longrightarrow$
$\Sigma^*=\bar{\emptyset}$ является звезда свободной$\Longrightarrow$
Если ⊆ Е , то Е * Е * является звезда свободной ⟹ Если ⊆ Е , то * = ¯ Е * ( Е ∖ ) Е * является звезды бесплатно$A\subseteq\Sigma$$\Sigma^*A\Sigma^*$$\Longrightarrow$
$A\subseteq\Sigma$$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$

В последней строке мы имеем $A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$ , потому что любое словокоторое не имеет вида$A^*$содержит букву в$\Sigma \setminus A$и наоборот.

Обычные языки - это те, которые могут быть описаны слабой монадической логикой второго порядка (WMSO) [1].

Беззвездные языки - это те, которые можно описать логикой первого порядка с помощью $<$ (FO [<]) [2].

Две логики не одинаково сильны. Одним из примеров языка, определяемого WMSO, но не определяемого FO [<], является (который, безусловно, является регулярным3); это можно показать с помощью игр Ehrenfeucht-Fraissé ⁴.$(aa)^*$

1. Слабые арифметические и конечные автоматы второго порядка Бьючи (1960)
2. Безналичные автоматы МакНотона и Пейперта (1971)

3. WMSO-формула для имеет вид$(aa)^*$

   $\ \begin{align} \bigl[ \forall x. P_a(x)\bigr] \land \Bigl[ \exists x. P_a(x) \to \bigl[ \exists X. X(0) &\land [\forall x,y. X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to \lnot X(y)] \\ &\land [\forall x,y. \lnot X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to X(y)] \\ &\land [\forall x. \operatorname{last}(x) \to \lnot X(x)] \bigr] \Bigr] \;. \end{align}$

   $X$

4. Смотрите также здесь .

Шютценбергер (1965) дал алгебраическую характеристику беззвездных языков: регулярный язык свободен от звезд тогда и только тогда, когда его синтаксический моноид апериодичен. В отличие от логической характеристики (без звездочек = FO [<]) эта алгебраическая характеристика дает алгоритм , чтобы решить данный регулярный язык , является ли звездой свободной (регулярный язык может быть задан конечным автоматом, регулярным выражением или обычная грамматика). Используя логическую характеристику (благодаря МакНотону и Паперту), можно решить следующую проблему: с учетом формулы WMSO существует ли формула FO, описывающая тот же язык?

M.-P. Шютценбергер, О конечных моноидах, имеющих только тривиальные подгруппы, Информация и управление 8 (1965), 190-194.

Р. ~ McNaughton и С. ~ Паперт, счетчик свободных автоматов, The MIT Press, Cambridge, штат Массачусетс Лондон, 1971.

Полное доказательство теоремы Шютценбергера можно найти в различных учебниках или обзорных статьях. Элементарное представление соответствующего алгоритма (без доказательства) см.

J.-É. Пин, Конечные полугруппы и узнаваемые языки: введение, Полугруппы Института передовых исследований НАТО, Формальные языки и группы , J. Fountain (ред.), 1-32, Kluwer Academic Publishing, (1995).

Звездные свободные языки описываются регулярными выражениями, которые включают конкатенацию, дополнение, объединение, пересечение, но без клини-звезды.

Поскольку обычные языки закрыты для всех этих операций (где комплементация является критической точкой), то каждый язык без звезд также является регулярным.

Возможно, вы имеете в виду обратное? Все ли обычные языки без звезд? Ответ на последний - нет. Смотрите эту статью для деталей.

Простой разделительный пример: (аа) *. Более сложный: все двоичные строки с четной (или нечетной) четностью.