Разница между языками, принятыми двумя DFA с разными начальными состояниями / принимающими государствами?

Недавно я задал вопрос по математике SE. Ответа пока нет. Этот вопрос связан с этим вопросом, но с техническими подробностями в отношении информатики.

Даны два DFA $A = (Q, \Sigma, \delta, q_1, F_1)$ и где набор состояний, входной алфавит и функция перехода и одинаковы, начальные состояния и конечные (принимающие) состояния могут быть разными. Пусть и - языки, принятые и соответственно.$B = (Q, \Sigma, \delta, q_2, F_2)$$A$$B$$L_1$$L_2$$A$$B$

Есть четыре случая:

1. $q_1 = q_2$ и .$F_1 = F_2$
2. $q_1 \neq q_2$ и .$F_1 = F_2$
3. $q_1 = q_2$ и .$F_1 \neq F_2$
4. $q_1 \neq q_2$ и $F_1 \neq F_2$ .

Мой вопрос

Каковы различия между $L_1$ и $L_2$ в случаях 2, 3 и 4?

У меня есть более конкретный вопрос по этому поводу,

Моноид перехода автомата - это множество всех функций на множестве состояний, индуцированных входными строками. Смотрите страницу для более подробной информации. Моноид перехода можно рассматривать как моноид, действующий на множество состояний. Смотрите эту вики-страницу для более подробной информации.

Во многих литературах автомат называется сильносвязанным, когда действие моноида транзитивно, т. Е. Всегда есть хотя бы один переход (входная строка) из одного состояния в другое состояние.

Если и являются сильно связанными автоматами, каковы различия между и в случаях 2, 3 и 4 выше?$A$$B$$L_1$$L_2$

В какой литературе обсуждаются эти вопросы в деталях?

Я искал много книг и статей и пока не нашел ничего полезного. Я считаю, что у меня пока нет подходящих ключевых слов. Таким образом, я ищу помощи. Любые указатели / ссылки будут оценены очень высоко.

Поскольку сильно связаны, то если q 1 ≠ q 2 , существуют слова p 1 , p 2, такие что δ ( q 1 , p 1 ) = q 2 и δ ( q 2 , p 2 ) = q 1 .$A,B$$q_1\neq q_2$$p_1,p_2$$\delta(q_1,p_1)=q_2$$\delta(q_2,p_2)=q_1$

Рассмотрим случай 2, тогда тогда и только тогда, когда p 2 w ∈ L ( B ) и x ∈ L ( B ) тогда и только тогда, когда p 1 x ∈ L ( A ) . Таким образом, вы можете добавить префикс для переключения между языками.$w\in L(A)$$p_2w\in L(B)$$x\in L(B)$$p_1 x\in L(A)$

Рассмотрим случай 3, затем снова - с сильной связью там самое большее Слова с 1 , . , , , s k такое, что для каждого q i ∈ F 1 имеем δ ( q i , s i ) ∈ F 2 и аналогично для другого направления (от B к A ).$|F_1|$$s_1,...,s_k$$q_i\in F_1$$\delta(q_i,s_i)\in F_2$$B$$A$

Таким образом, вы можете составлять суффиксы для переключения между языками.

Комбинируя их, вы можете охарактеризовать различия, используя префиксы и суффиксы. Например, в случае 4, тогда и только тогда, когда p 1 w s i в L ( A ) для некоторого s i в заранее определенном конечном множестве.$w\in L(B)$$p_1 w s_i$$L(A)$$s_i$

На самом деле, вы даже можете сказать что-то интересное об этих словах: определите как DFA, где q 1 - начальное состояние, а q 2 - конечное состояние, тогда в случае 2 у вас есть L ( B ) = L ( C ) ⋅ L ( A ) (и аналогично для другого направления).$C$$q_1$$q_2$$L(B)=L(C)\cdot L(A)$

Что касается суффиксов, то здесь все больше, поскольку вы не можете предопределить, в каком конечном состоянии вы закончите. Я не уверен, что вы можете написать это как конкатенацию, но вы можете написать где A q - DFA, полученный из A , задающий F = { q } , и E q является DFA, который начинается в q с конечными состояниями F 2 .$L(B)=\bigcup_{q\in F_1}L(A_q)\cdot L(E_q)$$A_q$$A$$F=\{q\}$$E_q$$q$$F_2$

Для случая 4 вы можете объединить два.

Вы можете быть обеспокоены тем, что это не реальный ответ, а скорее просто характеристика свойств с использованием слов, а не состояний, но это типичный ответ в этой области (аналогично теореме Майхилла-Нерода).