Трудно ли определить «двойные» арифметические прогрессии 3SUM?

Это вдохновлено вопросом интервью .

Нам дан массив целых чисел и мы должны определить, существуют ли различные i < j < k такие, что$a_1, \dots, a_n$$i \lt j \lt k$

• $a_k - a_j = a_j - a_i$
• $k - j = j - i$

т.е. последовательности и { i , j , k } находятся в арифметической прогрессии.$\{a_i, a_j, a_k\}$$\{i,j,k\}$

Для этого существует простой алгоритм , но поиск субквадратичного алгоритма кажется неуловимым.$O(n^2)$

Это известная проблема? Можем ли мы доказать 3SUM-твердость этого? (или, может быть, предоставить суб-квадратичный алгоритм?)

Если вам нравится, вы можете принять и что г + 1 - г ≤ K для некоторой известной постоянной K > 2 . (В задаче собеседования K = 9 ).$0 \lt a_1 \lt a_2 \lt ... \lt a_n$$a_{r+1} - a_{r} \le K$$K > 2$$K = 9$

Это открытая проблема.

$A[1..n]$

• $i,j,k$$A[i] + A[j] = A[k]$

• Convolution3SUM: существуют ли такие индексы , что A [ i ] + A [ j ] = A [ i + j ] ?$i<j$$A[i] + A[j] = A[i+j]$

• Среднее: существуют ли разные индексы такие, что A [ i ] + A [ j ] = 2 A [ k ] ?$i,j,k$$A[i] + A[j] = 2 A[k]$

• $i<j$$A[i] + A[j] = 2A[(i+j)/2]$

$\Omega(n^2)$$\alpha A[i] + \beta A[j] + \gamma A[k] + \delta$$\alpha,\beta,\gamma,\delta$ больше, меньше или равно A [ k ] ? ", По крайней мере, в Ω ( n 2 ) раз. Эта нижняя граница не исключает субквадратичные алгоритмы в более общей модели вычислений - действительно, это Можносократить некоторые логарифмические коэффициентыв различных целочисленных моделях оперативной памяти, но никто не знает, какая более общая модель поможет более значительно.$A[i] + A[j]$$A[k]$$\Omega(n^2)$

$\Omega(n^2/f(n))$$f$$\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$$O(n^{1.8})$$O(n^{1.9})$

$\Omega(n^2/f(n))$$f$$\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$

$\Omega(n^2)$$\Omega(n^2)$

$K$$O(n \log n)$

$B[0..Kn]$$B[i]=1$$A[1]+i$$A$$B$$O(Kn\log Kn) = O(n\log n)$$j$$A$$2A[1] + j$$A[i]+A[j]$$O(n)$$O(n)$

Но я не знаю подобного трюка для Convolution3SUM или ConvolutionAverage!