Можем ли мы генерировать случайные числа, используя иррациональные числа, такие как π и e?

Иррациональные числа, такие как , и имеют уникальную неповторяющуюся последовательность после десятичной точки. Если мы извлечем ую цифру из таких чисел (где - это количество раз, которое вызывается методом) и сделаем число с такими же цифрами, как есть, разве мы не должны получить идеальный генератор случайных чисел? Например, если мы используем , и , первое число - 123, второе - 471, следующее - 184 и так далее.$\pi$$e$$\sqrt{2}$$n$$n$$\sqrt{2}$$e$$\pi$

Наиболее очевидным недостатком является ненужная сложность алгоритмов PRNG, основанных на иррациональных числах. Они требуют гораздо больше вычислений для каждой сгенерированной цифры, чем, скажем, LCG; и эта сложность обычно возрастает по мере продвижения в последовательности. Вычисление 256 бит π на два квадриллионных бита заняло 23 дня на 1000 компьютерах (в 2010 году) - довольно непростительная сложность для ГСЧ.

Для любого разумного определения совершенного, описанный вами механизм не является совершенным генератором случайных чисел.

• Неповторяющихся недостаточно. Десятичное число $0.101001000100001\dots$ неповторяется, но это ужасный генератор случайных цифр, так как ответ «всегда» ноль, иногда один, и больше ничего.

• На самом деле мы не знаем, встречается ли каждая цифра одинаково часто в десятичном разложении $\pi$ или  $\mathrm{e}$ (хотя мы подозреваем, что это происходит).

• Во многих ситуациях мы требуем, чтобы случайные числа были непредсказуемыми (действительно, если бы вы спросили случайного человека, что означает «случайный», они, вероятно, сказали бы что-нибудь о непредсказуемости). Цифры известных констант полностью предсказуемы.

• Обычно мы хотим генерировать случайные числа достаточно быстро, но генерация последовательных цифр математических констант имеет тенденцию быть довольно дорогой.

• Однако верно, что цифры $\pi$ и  $\mathrm{e}$ выглядят статистически случайными в том смысле, что каждая возможная последовательность цифр, кажется, встречается примерно так часто, как и должна. Так, например, каждая цифра встречается очень близко к одному разу из десяти; каждая двузначная последовательность очень близка к единице из ста, и так далее.

Это криптографически бесполезно, потому что противник может предсказать каждую цифру. Это также очень много времени.

( обновлено после того, как многие люди указали, что генератор случайных чисел - это не то же самое, что одна нормальная последовательность)

Если вы спросите, можете ли вы получить нормальную последовательность из $\pi$ (т. Е. Все числа отображаются одинаково), то есть несколько ответов на mathoverflow. Например, ответ о распределении цифр числа Пи говорит:

... считается, что $\pi$ - нормальное число (равномерное распределение каждой последовательности цифр).

Данные о распространении цифр см., Например, http://www.eveandersson.com/pi/precalculated-frequencies или https://thestarman.pcministry.com/math/pi/RandPI.html (первые 1000 цифр):

На mathoverflow есть также хорошие ответы на:

• Каково состояние нашего невежества относительно нормальности числа Пи?
• Пи содержит 1000 последовательных нулей?

В целом, этот подход не работает: «случайность» не означает, что вы получаете много разных цифр, но есть и другие аспекты. Например, классическим тестом является проверка того, встречаются ли все двузначные или трехзначные комбинации и т. Д. С одинаковой частотой. Это был бы очень простой тест, который может исключать очевидные неслучайные результаты, но все еще слишком упрощенный, чтобы проверять действительно случайное поведение.

См. Страницу Википедии о тестах на случайность как коллекцию ссылок на первоисточники, касающиеся этого. Они упоминают большое количество довольно сложных концепций; не так важно вдаваться в подробности по этому поводу - но ясно, что не представляется возможным интуитивно объявить конкретное число хорошим источником для таких цифр.

Положительный момент: для конкретного иррационального числа вы, конечно, можете просто попробовать его; т. е. рассчитать число с достаточно большой степенью цифр и выполнить его через все известные тесты (для этого есть инструменты, см. ссылку выше). Если показатель достаточно хорош для вашего варианта использования, и если вы знаете, что он явно бесполезен для криптографических приложений, и всегда получите те же цифры, если вам нужно начать все сначала, и что качество может ухудшиться, если вы пройдете мимо nвыбранного вами для проверки случайности вы можете использовать эти числа. Но будет гораздо лучше использовать выделенный (псевдо) генератор случайных чисел; и ничто не сравнится с хорошим физическим источником случайности.

Это обеспечивает хорошее случайное число прямо до тех пор, пока вы не поймете, как оно было получено, как со многими псевдослучайными числами. Выбранные вами иррациональные (неалгебраические и не трансцендентные) числа являются общими и поэтому легче угадываются, чем другие. Я не вижу проблем с этим методом, если вы выбираете менее часто встречающиеся генераторы.