Язык с иррациональным числом не является КЛЛ

Я работаю над тяжелым упражнением в учебнике и просто не могу понять, как поступить. Здесь проблема. Предположим, что у нас есть язык $L = \{a^ib^j: i \leq j \gamma, i\geq 0, j\geq 1\}$ где $\gamma$ - некоторое иррациональное число. Как бы я доказать это$L$ не является контекстно-свободным языком?

В случае, когда $\gamma$ рационально, довольно легко построить грамматику, которая принимает язык. Но поскольку $\gamma$ иррациональна, я не знаю, что делать. Не похоже, чтобы какая-то из лемм прокачки работала здесь. Возможно, здесь сработает теорема Париха, поскольку интуитивно кажется, что у этого языка нет сопровождающего полулинейного изображения Париха.

Это упражнение из «Второго курса формальных языков и теории автоматов» Джеффри Шаллита, упражнение 25 главы 4.

Я был бы очень признателен за любую помощь или подтолкнуть в правильном направлении. Спасибо!

Согласно теореме Париха, если бы $L$ не зависело от контекста, то множество $M = \{(a,b) : a \leq \gamma b \}$ было бы полулинейным, то есть было бы объединением конечного числа множеств вида $S = u_0 + \mathbb{N} u_1 + \cdots + \mathbb{N} u_\ell$ , для некоторых $u_i = (a_i,b_i)$ .

Очевидно , что $u_0 \in M$ , и , кроме того $u_i \in M$ для каждого $i > 0$ , поскольку в противном случае $u_0 + N u_i \notin M$ при достаточно большом $N$ . Следовательно, $g(S) := \max(a_0/b_0,\ldots,a_\ell/b_\ell) < \gamma$ (поскольку $g(S)$рационально). Это означает, что каждый $(a,b) \in S$ удовлетворяет $a/b \leq g(S)$ .

Теперь предположим, что $M$ является объединением $S^{(1)},\ldots,S^{(m)}$ , и определим $g = \max(g(S^{(1)}),\ldots,g(S^{(m)})) < \gamma$ . Вышеизложенное показывает, что каждый $(a,b)$ в объединении удовлетворяет $a/b \leq g < \gamma$, и мы получаем противоречие, так как $\sup \{ a/b : (a,b) \in M \} = \gamma$ .

---

Когда $\gamma$ рационально, доказательство не выполняется, и действительно, $M$ полулинейно:

$$\{ (a,b) : a \leq \tfrac{s}{t} b \} = \bigcup_{a=0}^{s-1} (a,\lceil \tfrac{t}{s} a \rceil) + \mathbb{N} (s,t) + \mathbb{N} (0,1).$$ Действительно, по построению любая пара$(a,b)$в правой части удовлетворяет$a \leq \tfrac{s}{t} b$(так как$s = \tfrac{s}{t} t$). И наоборот, предположим, что$a \leq \frac{s}{t} b$. While $a \geq s$ and $b \geq t$, subtract $(s,t)$ from $(a,b)$. Eventually $a < s$ (since $b < t$ implies $a \leq \frac{s}{t}b < s$). Since $a \leq \frac{s}{t} b$, necessarily $b \geq \lceil \tfrac{t}{s} a \rceil$. Hence we can subtract $(0,1)$ from $(a,b)$ until we reach $(a,\lceil \tfrac{t}{s} a \rceil)$.

Every variable except $\gamma$ in this answer stands for a positive integer. It is well-known that given an irrational $\gamma>0$, there is a sequence of rational numbers $\dfrac{a_1}{b_1}\lt\dfrac{a_2}{b_2}\lt\dfrac{a_3}{b_3}\lt\cdots \lt\gamma$ such that $\dfrac{a_i}{b_i}$ is nearer to $\gamma$ than any other rational number smaller than $\gamma$ whose denominator is less than $b_i$.

---

It turns out that the pumping lemma does work!

For the sake of contradiction, let $p$ be the pumping length of $L$ as a context-free language. Let $s=a^{a_p}b^{b_p}$, a word that is $L$ but "barely". Note that $|s|>b_p\ge p$. Consider $s=uvwxy$, where $|vx|> 1$ and $s_n=uv^nwx^ny\in L$ for all $n\ge0$.

Let $t_a$ and $t_b$ be the number of $a$s and $b$s in $vx$ respectively.

• If $t_b=0$ or $\dfrac{t_a}{t_b}\gt\gamma$, for $n$ large enough, the ratio of the number of $a$s to that of $b$s in $s_n$ will be larger than $\gamma$, i.e., $s_n\not\in L$.
• Otherwise, $\dfrac{t_a}{t_b}\lt\gamma$. Since $t_b<b_p$, $\dfrac{t_a}{t_b}\lt \dfrac{a_p}{b_p}$. Hence, $\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\dfrac{a_p}{b_p}$ Since $b_p-t_b<b_p$, $\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\gamma,$ which says that $s_0\not\in L$.

The above contradiction shows that $L$ cannot be context-free.

---

Here are two related easier exercises.

Exercise 1. Show that $L_\gamma=\{a^{\lfloor i \gamma\rfloor}: i\in\Bbb N\}$ is not context-free where $\gamma$ is an irrational number.

Exercise 2. Show that $L_\gamma=\{a^ib^j: i \leq j \gamma, i \ge0, j\ge 0\}$ is context-free where $\gamma$ is a rational number.